Вычисление угла между прямыми в пространстве
Пусть в пространстве зафиксирована декартова система координат, и пусть две прямые l1и l2 заданы каноническими уравнениями: l1 : = = l2: = = . По данным уравнениям для каждой прямой мы можем легко определить направляющий вектор: t1 = (m1, n1, k1) - направляющий вектор прямой l1, t2 = (m2, n2, k2) - направляющий вектор прямой l2.
Угол между прямыми равен углу между векторами t1 и t2 или составляет с ним в сумме p, так что косинусы этих углов равны по модулю и cos j = (где j - угол между прямыми l1и l2).
Итак, мы доказали следующую теорему: Теорема. Пусть в декартовой системе координат определены направляющие векторы прямых l1и l2: t1 = (m1, n1, k1) - направляющий вектор прямой l1, t2 = (m2, n2, k2) - направляющий вектор прямой l2. Тогда cos j = , где j - угол между прямыми l1и l2.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть две прямые l1и l2 заданы каноническими уравнениями: l1 : = = l2: = = .
По данным уравнениям для каждой прямой мы можем легко определить точку, лежащую на прямой, и направляющий вектор: M1(x1, y1, z1) - точка на прямой l1, t1 = (m1, n1, k1) - направляющий вектор прямой l1, M2(x2, y2, z2) - точка на прямой l2, t2 = (m2, n2, k2) - направляющий вектор прямой l2. Две прямые в пространстве могут совпадать, бать параллельными, пересекаться в точке, скрещиваться. 1 случай. Прямые l1и l2 совпадают Û t1|| t2 и || t2 , то есть координаты векторов t1, t2 и пропорциональны Û t1 ´ t2 = q и ´ t2= q. 2 случай. Прямые l1и l2 параллельны Û t1|| t2 , а векторы и t2 не коллинеарны, то есть координаты векторов t1и t2 пропорциональны, а координаты векторов и t2 не пропорциональны Û t1 ´ t2 = q и ´ t2 ≠ q. 3 случай. Прямые l1и l2 пересекаются в точке Û векторы t1и t2 не коллинеарны, но векторы t1, t2 и компланарны Û t1 ´ t2 ≠ q и t1 t2 = 0. 4 случай. Прямые l1и l2 скрещиваются Û Векторы t1, t2 и не компланарны Û t1 t2 ≠ 0.
Угол между прямой и плоскостью.
Пусть прямая l задана каноническим уравнением , а плоскость a общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. По данным уравнениям легко определить направляющий вектор прямой - вектор = (m, n, k), и вектор нормали к плоскости - вектор = (A, B, C).
РИС. 41 (1,2)
Пусть j - угол между прямой l и плоскостью a, y - угол между векторами и . Так как угол между прямой l и плоскостью a - это угол между прямой l и ее проекцией на плоскость a, а вектор нормали перпендикулярен любой прямой в плоскости a (то есть и проекции прямой l), то j + y = или y - j = и sin j = | cos y| = . Итак, мы доказали следующую теорему: Теорема. Пусть j - угол между прямой и плоскостью, и пусть в декартовой системе координат определены направляющий вектор прямой - вектор = (m, n, k), и вектор нормали к плоскости - вектор = (A, B, C) . Тогда sin j = .
Кривые второго порядка
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2094)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |