Об уравнениях в частных производных
Из всех возможных типов уравнений в частных производных мы рассмотрим только линейные уравнения, т.е. уравнения, представляющие собой линейные комбинации искомой функции и ее производных, коэффициентами которых являются известные функции. Кроме того, мы ограничимся, в основном, уравнениями, содержащими производные не выше второго порядка. Уравнения, которые мы будем рассматривать, как правило, связаны с математической формулировкой физических задач, с математическим описанием разных физических процессов. Различают два типа процессов – нестационарные (меняющиеся во времени) и стационарные (не меняющиеся во времени). Нестационарные процессы описываются прежде всего уравнениями параболического и гиперболического типов, а стационарные процессы – уравнениями эллиптического типа. Начнем со стационарных задач. Простейшим представителем уравнений эллиптического типа является уравнение Лапласа , , . Мы будем его рассматривать только для случая двух независимых переменных , . Неоднородное уравнение называется уравнение Пуассона. Остановимся на формулировке краевых задач для эллиптических уравнений на примере уравнения Пуассона. Пусть конечная область на плоскости переменных . Границу обозначим через . Для уравнения Пуассона ставятся следующие краевые задачи. Требуется найти в замкнутой области решение , удовлетворяющее в уравнению , , (2.1) а на границе одному из следующих краевых условий: для первой краевой задачи , ; (2.2) для второй краевой задачи , ; (2.3) для третьей краевой задачи , . (2.4) Здесь , , , заданные функции, производная по направлению внешней нормали к границе . Первая краевая задача для уравнения Пуассона возникает, например, при отыскании положения равновесия упругой однородной мембраны, закрепленной на границе и находящейся под воздействием внешней силы . Другая физическая задача, для которой математическим описанием служит уравнение Пуассона – это задача о стационарном распределении температуры в однородной среде. В этом случае , где плотность тепловых источников, коэффициент теплопроводности. В случае первой краевой задачи заданной оказывается температура на границе, во второй задаче задается тепловой поток, в случае третьей краевой задачи происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Типичным представителем уравнений параболического типа является уравнение теплопроводности. В случае изотропной среды уравнение имеет вид , , , (2.5) где , коэффициент теплопроводности. При задается начальное условие , . На границе области задается одно из краевых условий (2.2), (2.3) или (2.4). Простейшим примером уравнений гиперболического типа может служить уравнение колебаний струны , , (2.6) где скорость распространения колебаний. Начальные и граничные условия для этого уравнения: , , (2.7) . (2.8)
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (457)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |