КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

 

Федеральное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

(МИИТ)

 

ОДОБРЕНО:

Кафедра «Высшая и прикладная математика»

УТВЕРЖДЕНО:

Декан ф-та УПП Декан ф-та ТС

« »

2011г.

 

Составители: Блистанова Л.Д., д.ф.-м.н., доц., Захарова М.В., к.ф.-м.н., доц., Сперанский Д.В., д.т.н., проф.

 

 

МАТЕМАТИКА

 

Задания на контрольные работы № 1 – 3 для студентов 1 курса заочной формы обучения

профиль: Строительство, направления – все

 

Москва 2011г.

Методические указания по выполнению контрольных работ

 

Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная математика» РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную нумерацию, которая включает номер раздела из сборника задач, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра номера которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 0, в контрольной работе №1 решает задачи 1.1.10, 2.1.20, 2.2.20, 3.3.40, 3.1.50; в контрольной работе №2 – 6.2.40, 6.3.20, 7.1.10, 7.2.60,

7.3.30; в контрольной работе №3 – 8.1.10, 8.2.40, 9.1.20, 9.1.60, 10.1.10.

Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов рабочей программы, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).

Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента. В конце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.

В каждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

 

Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и

Линейной алгебры

 

 

1.1.1. Найти косинус угла между векторами BA и BC , если

A(3; - 2;3) ;

B(2;0;1) ;

C(-2;3;1) . Сделать чертеж.

1.1.2. Найти косинус угла между векторами AB и AC , если

A(3;0;1) ;

B(5; - 2; 2) ;

C(-1; - 3;1) . Сделать чертеж.

1.1.3. Найти угол между векторами AB и AC , если

C(-1; 4; - 2) . Сделать чертеж.

1.1.4. Найти угол между векторами BA и BC , если

C(1;0;7) . Сделать чертеж.

1.1.5. Найти угол между векторами AB и AC , если

C(1; - 3;3). Сделать чертеж.

A(2; 4; -1) ;

 

A(5; 2;1) ;

 

A(2; -1;3) ;

B(0; 4;0);

 

B(2; 4; 2) ;

 

B(1; 2;3) ;

1.1.6. Найти угол между векторами AB и AC , если

C(0;5;-1) . Сделать чертеж.

1.1.7. Найти косинус угла между BA и BC , если

C(-1; 4; 2) . Сделать чертеж.

A(2;5; - 3);

 

A(4; -1; 4) ;

B(5;2;-3) ;

 

B(3;1; 2) ;

1.1.8. Найти косинус угла между AB и AC , если

C(-4; - 6; - 2) . Сделать чертеж.

A(0; - 3; - 2) ;

B(2; - 5; -1) ;

1.1.9. Найти угол между AB и AC , если Сделать чертеж.

A(5;7; 2) ;

B(3;7;3);

C(2;7;1) .

1.1.10. Найти угол между BA и BC , если Сделать чертеж.

A(-2;0; - 2) ;

B(0; 2;0);

C(-1; - 2;5) .

 

2.1.11. Уравнение одной из сторон квадрата х+3у–5= 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р (–1; 0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.

2.1.12. Даны уравнения одной из сторон ромба х–3у+10=0 и одной из ее диагоналей х+ 4 у –4=0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0; 1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

2.1.13. Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+2=0 и х+у–4=0, а уравнение одной из его диагоналей х–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать чертеж.

2.1.14. Даны две вершины А (–3; 3) и В(5; –1) и точка D ( 4 ; 3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

2.1.15. Даны вершины А (3; –2), В(4; –1), С(1; 3) трапеции ABCD (AD || BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

2.1.16. Даны уравнения двух сторон треугольника 5х–4у+15=0 и 4х+у–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р ( 0 ; 2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.

2.1.17. Даны две вершины А(2; –2) и В(3; –1) и точка Р(1; 0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С. Сделать чертеж.

2.1.18. Даны уравнения двух высот треугольника х+у =4 и у=2х и одна из его вершин А(0; 2). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

2.1.19. Даны уравнения двух медиан треугольника х–2у+l = 0 и у–1=0 и одна из его вершин А(1; 3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

2.1.20. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5х–2у–8=0 и 3х–2у–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

 

2.2.11. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

ì y + 3z -1 = 0

í

îx - y + 2z - 3 = 0

а) 5x + 3y - z + 2 = 0 ; б) 5x - 3y + -z +1 = 0 ; в) 5x + 3y + 2z - 3 = 0 ;

г) - x + 5y + 3z = 0 ; д) 3x + 5y - z - 4 = 0 .

Сделать схематический чертеж.

2.2.12. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

ì-x + 3y+ 2z+ 1 = 0

í

î2x - y - z -1 = 0

а) 3x + y - 5z +1 = 0 ; б)

x - 3y - 5z + 2 = 0 ; в)

- 5x + y + 3z = 0 ;

г) x + 3y - 5z + 3 = 0 ; д) 3x - y + 5z - 2 = 0 .

Сделать схематический чертеж.

2.2.13. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

ì2x+ 3y- z = 0

í

îx + y - 3z + 5 = 0

а) 5x - 8y - z + 3 = 0 ; б)

- 8x + 5y - z -1 = 0 ; в)

- x + 5y + 8z = 0 ;

г) - x - 8y + 5z + 2 = 0 ; д)

x - 3y + z - 4 = 0 .

Сделать схематический чертеж.

2.2.14. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

ìx+ y - 3z+ 3 = 0

í

î- 2x + y - z = 0

а) 7x - 2y - 3z +1 = 0 ; б) г) 2x + 7 y + 3z - 5 = 0 ; д)

2x - 7 y - 3z + 2 = 0 ; в)

x + 3y - 7z + 3 = 0 .

x - 3y + 7z = 0 ;

Сделать схематический чертеж.

2.2.15. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

ì- x + 2 y - z + 5 = 0

í

î2x + z - 3 = 0

а) 2x - y - 4z +1 = 0 ; б)

г) - 4x - y + 2z + 5 = 0 ; д)

- x + 2y + 4z - 3 = 0 ; в)

4x + y - 3z - 8 = 0 .

2x + y + 4z = 0 ;

Сделать схематический чертеж.

2.2.16. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

ì5x + y - z - 7 = 0

í

î- 2x + y - 3z = 0

а) 7x - 2y +17z = 0 ; б) 7x + 2y -17z + 5 = 0 ; в) г) 2x -17 y + 7z + 2 = 0 ; д) 17x + 7 y - 2z +1 = 0 .

- 2x +17 y + 7z + 3 = 0 ;

Сделать схематический чертеж.

2.2.17. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

ì4x + y - z + 4 = 0

í

îx + y + z - 2 = 0

а) 2x - 5y + 3z + 5 = 0 ; б)

2x + 5y - 3z +1 = 0 ; в) 5x + 3y - 2z - 3 = 0 ;

г) x + 2y - z + 2 = 0 ; д) 3x - 5y - 2z + 7 = 0 .

Сделать схематический чертеж.

2.2.18. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

ì2x - y + 3z + 3 = 0

í

îx + y - 2z = 0

а) 3x - 5y + z -1 = 0 ; б) 3x + 7 y - z + 5 = 0 ; в)

7x - 3y + z + 3 = 0 ;

г) - 7x + 2y + 3z -1 = 0 ; д)

- x + 7 y + 3z - 6 = 0 .

Сделать схематический чертеж.

2.2.19. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

ìx+ 3y-1= 0

í

îx + 2 y - z - 6 = 0

а) 3x - 7 y - z + 5 = 0 ; б)

 

 

- 7x + 3y - z +1 = 0 ; в)

 

 

7x + 3y + z - 2 = 0 ;

г) - 3x + y - z = 0 ; д)

- x + 7 y + 7z + 3 = 0 .

Сделать схематический чертеж.

2.2.20. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

ìx+ 2 y - z + 5 = 0

í

î2x - y + z - 2 = 0

а) x + 3y - 5z - 2 = 0 ; б)

г) x - 3y - 5z +1 = 0 ; д)

- 3x + y + 5z -1 = 0 ; в) 5x + 3y - z + 2 = 0 ;

x - 5y - z - 3 = 0 .

Сделать схематический чертеж.

 

3.3.31–3.3.40.Приведите к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Установите тип этих линий и их расположение. Сделайте схематический чертеж.

3.3.31. 3x2 + 2xy + 3y2 + 4x + 4y – 4 = 0;

3.3.32. 16x2– 24xy +9y2+ 25x – 50y + 50 = 0;

3.3.33. xy + 3x – 3y – 9 = 0; 3.3.34. 3x2– 4xy + 4 = 0; 3.3.35. x2 + 4xy +4y2– 9 = 0;

3.3.36. 4xy + 9 = 0;

3.3.37. x2 + 6xy + y2+ 6x + 2y – 1 = 0;

3.3.38. 8x2+ 4xy + 5y2 + 16x + 4y – 28 = 0;

3.3.39. 2x2+ 4x – y – 1 = 0;

3.3.40. y2 – 2x + 4y + 2 = 0.

 

3.1.41–3.1.70.Решить систему линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса. Сделать проверку.

 

3.1.41.

 

 

3.1.43.

 

 

3.1.45.

ì3x+ y + z = 2

í

ï

ïx - y + 2z = 1

îx + z = 1

ì2x+ y + z = 2

í

ï

ïx - y + 2z = -2

î3x + y + z = 3

ìx + y - z = 3

í

ï

ï2x + 3y + z = 11

îx - y + 4z = 4

 

3.1.42.

 

 

3.1.44.

 

 

3.1.46.

ìx - 2 y + z = 0

í

ï

ïx + 2z = 2

î2x - y - z = 3

ì2x + y - z = 6

í

ï

ïx - y + z = 0

îx + y = 5

ì2x + y - z = 1

í

ï

ïx - y - z = -2

î3x + y + z = 6

ìx + y - z = 3

í

ï

3.1.47. ï2x + y + z = 6

îx - z = 0

ï

ìx- y + z = -1

 

3.1.48.

ì3x- y - z = 5

í

ï

ïx + z = 3

îx - 2 y - z = 1

í

ì3x + 2 y - z = 4

3.1.49. í3

ï

x + y - z = 1

3.1.50.

ïx + 2 y + z = 4

ï

î2x + y + z = 3

îx - y - z = 0

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2