Производная и ее приложения
6.2.31–6.2.40.Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 6.2.31. а) lim 3 x ; б) lim arctg 3x; x ® 0 x + 3 - 4 3 - x x ® 0 sin 5x æö2x+1 в) lim 3x + 5 ; г) lim 3 - 2x
x ® ¥ (2x2 - 1)2 x ® ¥ è 5 - 2xø 6.2.32. а) lim x ® 4 x +12 - 4 ; б) x - 2 lim x ® 0 tg 4 x ; x + 1 -1 2 + x 2 3 æ ö
(2 x + 1) + 3x; г) lim 5 - 2 x ç ÷ . x ® ¥ x3- (2x -1)2 2 x ® 0 è 5 + 3xø 6.2.33. а) lim x - 25 ; б) lim tgx ; x ® 5 x - 5 6 x ® 0 sin 2 2x æö x+3 в) lim 2x - 7 ; г) lim 3x + 1
x ® ¥ (x3- 3)(2- x3) 3 x ® ¥ è 3x - 2 ø 6.2.34. а) lim x ® -1 x - 7 + 2 ; б) x + 1 lim x ® 1 sin( x -1) ; x 2 - 1 3 æ ö
(3x - 2) ; г) lim 2 - x x x ® ¥ (x2 + 1)(2- x) x ® 0 è 2 + x ø 6.2.35. а) lim x - 4 ; б) lim arcsin x ; x ® 2 x + 14 - 2 x + 2 x ® 0 3 + x - 2 x2-1 в) lim ( x - 3)(2 - x ) ; г) lim æ 2 x + 1 ö
x ® ¥ (x -1)3 x ® ¥ çç 2x 2 + 3 ø
3 3 6.2.36. а) lim 1 + x - 1 - x ; б) lim tg 2 x ; x ® 0 x x ® 0 5x2 - 9x
4 æ ö x + 1 в) lim 5x - 6 x + 7 ; г) lim 2 x + 1
x ® ¥ (x 2 - 3)2 x ® 0 è x + 1ø 6.2.37. а) lim 1 + 2 x - 1 - 3x; б) lim sin x ; x ® 0 5x
x ® 0 arcsin3x
x2+5 в) lim 1 - 2 x - x ; г) lim æ 3x + 2 ö ÷ x ® ¥ (2+ x)2- 3x3 x ® ¥ çç 3x 2 .
6.2.38. а) lim x + 3 ; б) lim 4 - x - 2 ; x ® -35 1 - x - 2 4 - 7x x ® 0 arcsin 2x 2 3 æ ö
7 + x + x - 2 x ; г) lim x + 2 x x ® ¥ (1 - x)3 x ® 0 è 3x+ 2 ø
6.2.39. а) lim x ® 0 1 + 2 x - 1 - 3x; б) 3x
2 2 lim x ® p tg 2 x ; sin 3x x+2 æö в) lim (x - 3) + 5 ; г) lim 7x + 1
x ® ¥ (1- 2x2 )2+ 7 x ® ¥ è 7x - 1 ø
6.2.40. а) lim x ® 0 x + x ; б) x + 1 - 1 lim x ® 0 arcsin 2 x; x + 1 -1 5 æ ö
4 + x - x ; г) lim 7 + x x x ® ¥ 2 + x 2 - 3x5 x ® 0 è 7 - x ø
6.3.11–6.3.20.Задана функция у=f (х). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж. ì x + 4,
ì x + 2,
x < -1; -1 £ x < 1; x ³ 1.
x £ -1; -1 < x £ 1; x > 1. ì - x, ï x £ 0; 6.3.13.f (x) = í- (x -1)2 ,
0 < x < 2; x ³ 2.
ì cosx,
ì - x, ï x £ 0; 0 < x < 1; x ³ 1.
x £ 0; 6.3.15.f (x) = íx2,
ì - x,
îx - 2, 0 < x £ 2; x > 2.
x £ 0; 0 < x £ p ; x > p .
ì- ( x +1),
x £ -1; -1 < x £ 0;
ì- x2,
ì - 2x,
ì- 2 x, ï x > 0.
x £ 0; 0 < x £ p / 4; x > p / 4.
x £ 0; 0 < x £ 1; x > 1.
x £ 0; 6.3.20.f (x) = í x ,
0 < x < 4; x ³ 4.
7.1.1–7.1.10.Найти производные dyданных функций. dx 7.1.1. a)
в) y = arccos
x = 2t 2 + t, x ;
y = ln t. б) y = ln ctg x ; 3
7.1.2. a) y = x 25 - x2+ 25arccos x ; б) y = exp (ctg 2x);
в) x = 1 - t ; 1 + t 2 2 5 2 + t 2 y = . t 2 7.1.3. а) y = 1 ln 6 x - 3 ; x + 3 б) y = arcctg [exp(5x)] ; в) x = sin23t, y = cos23t . 7.1.4. a) y = ln(x + x 2 +1); б) y = 1- cos 3x ; 1+ cos 3x в) x = t4 + 2t, y = t2 + 5t . 2 7.1.5. a) y = x x +1+ arccos 1 ; б) x 2 y = (x -1)exp (x 2 ); в) x = t – ln sint, y = t + ln cost . 1 2 7.1.6. a) y = ctg x + ln sin x;
б) y = exp(cos3x) . в) x = tg t , y = . sin2t 7.1.7. a) y = ln( x - x - 2 )+ x2- 2x; б) y = 3x exp(-x-2) ; в) x = t2 – t3, y = 2t3. 7.1.8. a) y = ln cos2x – ln sin2x ; б) в) x = cos3t , y = sin3t . x -1
3x ; 7.1.9. a) y = arccos ; б) x + 1 y = ln ctg x + 2 ; в) x = 3sint, y = 3cos2t . tg 3 x ctg 2 x æ 1 ö 7.1.10. a) y = - + ln sin x; б) y = x exp ç ÷; 3 2 è x ø в) x = 2t – t2 , y = 2t3.
7.2.51–7.2.60.Подобрать соответствующую функцию и найти ее экстремум. 7.2.51. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести ? 7.2.52. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем? 7.2.53. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей ? 7.2.54. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R ? 7.2.55. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R ? 7.2.56. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность ? 7.2.57. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света ? 7.2.58. В точках A и B, расстояние между которыми равно a, находятся источники света соответственно с силами F1и F2. На отрезке AB найти наименее освещенную точку M0. Замечание. Освещенность точки источником света силой F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света: E = kF / r 2 , k = const. 7.2.59. Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка наибольшее сопротивление на изгиб ? Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины x ее поперечного сечения на квадрат его высоты y: Q = kxy2 , k = const. 7.2.60. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна p1руб., а стенок – p2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?
7.3.21–7.3.30.Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f (x) для "xÎR и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [a; b].
7.3.21. а) y = 4 x
б) [–3; 3] .
7.3.22. а) x 2 - 1 y = , x 2 + 1
б) [–1; 1] .
7.3.23.
y = x ,
б) [–2; 2 ] .
7.3.24. а) x 2 + 1 x 2 - 5 y = ,
б) [–2; 2] . x - 3
7.3.25. а) 2 - 4x2 y = 1 - 4x2 ,
б) [ 1; 4] .
7.3.26. а) y = (x -1)e3x+1, б) [ 0; 1] .
7.3.27. а) y = ln x , x
б) [ 1; 9] . 7.3.28. а)
y = e 2-x , б) [–1; 1] .
7.3.29. а) y = xe - x 2 , б) [–2; 2] .
7.3.30. а) x2- 3
б) [–2; 2] . x + 9
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (929)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |