Пример выполнения контрольной работы № 2

Задание

Прианализе воздуха на содержание азота хроматографическим методом для двух серий опытов получены следующие результаты:

Рассчитать среднее значение концентрации компонента и его доверительный интервал. Принадлежат ли результаты обеих выборок одной и той же генеральной совокупности.

Решение:

Проверяем ряды на наличие грубых ошибок по Q-критерию. Для чего их располагаем результаты в ряд по убыванию (от минимума к максимуму или наоборот) :

Первая серия:

77,90<77,92<77,95<77,99<78,05<78,07<78,08<78,10

Проверяем крайние результаты ряда (не содержат ли они грубую ошибку).

Полученное значение сравниваем с табличным (табл.2 приложения). Для n=8, p=0,95 Q_таб=0,55.

Т.к. Q_таб >Q_{1 расчет} , левая крайняя цифра не является «промахом».

Проверяем крайнюю правую цифру

Q_расч<Q_таб, т.к. 0,1<0,55 (n=8, p=0,95).

Крайняя правая цифра так же не является ошибочной.

Располагаем результаты второго ряда в порядке их возрастания:

78,02<78,08<78,13<78,14<78,16<78,20<78,23<78,26.

Проверяем крайние результаты опытов - не являются ли они ошибочными.

Q (n=8, p=0,95)=0,55. Табличное значение.

<Q(n=8, p=0,95), т.е. 0,25<0,55

Крайнее левое значение – не ошибочное.

Крайняя правая цифра (не является ли она ошибочной).

, т.е. 0,125<0,55

Крайнее правое число не является «промахом».

Подвергаем результаты опытов статистической обработке.

1. Вычисляем средневзвешенные результатов:

- для первого ряда результатов.

- для второго ряда результатов.

2. Дисперсия относительно среднего:

- для первого ряда.

- для второго ряда.

3. Стандартное отклонение:

- для первого ряда.

- для второго ряда.

4. Стандартное отклонение среднего арифметического:

При небольших (n<20) выборках из нормально распределенной генеральной совокупности следует использовать t – распределение, т.е. распределение Стьюдента при числе степени свободы f=n-1 и доверительной вероятности p=0,95.

Пользуясь таблицами t – распределения, определяют для выборки в n – результатов величину доверительного интервала измеряемой величины для заданной доверительной вероятности. Этот интервал можно рассчитать:

Сравниваем дисперсии и средние результаты двух выборочных совокупностей.

Сравнение двух дисперсий проводится при помощи F- распределения (распределения Фишера). Если мы имеем две выборочные совокупности с дисперсиями S²₁ и S²₂ и числами степеней свободы f₁=n₁-1 и f₂=n₂-1, соответственно, то рассчитываем значение F:

F=S²₁ / S²₂

Причем в числителе всегда находится большая из двух сравниваемых выборочных дисперсий. Полученный результат сравнивают с табличным значением. Если F₀ > F_крит (при р=0,95; n₁, n₂), то расхождение между дисперсиями значимо и рассматриваемые выборочные совокупности различаются по воспроизводимости.

Если расхождение между дисперсиями незначимо, возможно сравнить средние x₁ и х₂ двух выборочных совокупностей, т.е. выяснить, есть ли статистически значимая разница между результатами анализов. Для решения поставленной задачи используют t – распределение. Предварительно рассчитывают средневзвешенное двух дисперсий:

И средневзвешенное стандартное отклонение

а затем – величину t:

Значение t_эксп сравнивают с t_крит при числе степеней свободы f=f₁+f₂=(n₁+n₂-2) и выборочной доверительной вероятности р=0,95. Если при этом t_эксп > t_крит ,то расхождение между средними и значимо и выборка не принадлежит одной и той же генеральной совокупности. Если t_эксп< t_крит, расхождение между средними незначимо, т.е. выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, и, следовательно, данные обеих серий можно объединить и рассматривать их как одну выборочную совокупность из n₁+n₂ результатов.