Линейный метод наименьших квадратов

2015-11-07

6460

Обсуждений (0)

4.38 из 5.00 8 оценок

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒

Аналитику часто приходится строить линейные зависимости, например, градуировочные прямые. Для обеспечения правильности результата анализа построение градуировочных зависимостей имеет решающее значение. Однако все результаты измерений характеризуются некоторой неопределенностью и данные, полученные для построения градуировочной зависимости, не составляют исключения. Они неизбежно имеют разброс относительно прямой, и часто прямую в таких случаях проводят интуитивно, на глаз, просто приложив линейку так, чтобы точки были разбросаны относительно прямой более-менее равномерно. Использование статистических методов позволяют определить наиболее вероятное расположение прямой.

В качестве основополагающего принципа обычно используют метод наименьших квадратов. Он состоит в следующем.

Экспериментальный набор данных наилучшим образом описывает та прямая, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от рассчитанных минимальна.

Если предполагается, что зависимость между переменными x и y линейна, то данные должны удовлетворять уравнению

y = mx +b

Символом y обозначена зависимая переменная (например, оптическая плотность при спектрофотометрических измерениях), символом х независимая переменная, параметрыmиb называются, соответственно, угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) и свободным членом.

Если х– заданная величина (например, концентрация), а y – измеряемая величина, то отклонения рассчитывают вдоль вертикальной оси.(В этом случае предполагают, что значения независимой переменной x_i не содержат погрешностей).

Тогда величина y_l в точности равна

y_l = mx_i +b.

Сумма квадратов отклонений S равна:

Наилучшей прямой является та, для которой величина S минимальна. Для нахождения соответствующих параметров следует продифференцировать выражение для S по b приравнять производные нулю и решить полученную систему из двух уравнений относительно mи b. Решениями являются

где – среднее из всех значений , а – среднее из всех значений ; n – число точек (пар значений x_i, y_i) .

Рис 4.3.1 Прямая, построенная по методу наименьших квадратов.

Пример.

В растворе определяли массовую концентрацию железа спектрофотометрическим методом, измеряя оптические плотности растворов, окрашенных в результате реакции взаимодействия иона Fe³⁺с сульфосалициловой кислотой. Для построения градуировочной зависимости были измерены оптические плотности растворов с возрастающими (заданными) концентрациями железа, обработанных сульфосалициловой кислотой.

Требуется: по полученным данным (таблица 3.1) при помощи метода наименьших квадратов рассчитать параметры наилучшей прямолинейной зависимости и построить градуировочный график.

Таблица 4.3.1 –Исходные данные

Х_i, мг	Y_i (А)	Х_i²	Х_i· Y_i
0,010	0,100	0,0001	0,001
0,020	0,210	0,0004	0,0042
0,030	0,290	0,0009	0,0087
0,040	0,420	0,0016	0,0168
0,050	0,530	0,0025	0,0265
Σ Х_i=0,150	Σ Y_i =1,550	Σ Х_i²= 0,0055	Σ Х_i·Y_i = =0,0572

Вычисляем:

1) средние значения аргументов и функции ( ) для n= 5 :

Решение

Подставив значения mи bв уравнениеy_i= mx_i +b

вычисляем соответствующие значения y_1…… y_5.По вычисленным значениям составляем таблицу 3.2.

Таблица 4.3.2 -Вычисленные значения для построения градуировочного графика

x_i 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050

y_l 0,096 0,203 0,31 0,417 0,524

По данным таблицы строим градуировочный график

y=mx+b

x_i

Рис. 4.3.2 Градуировочный график, построенный при помощи метода наименьших квадратов

2015-11-07

6460

Обсуждений (0)

4.38 из 5.00 8 оценок

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒

Обсуждение в статье: Линейный метод наименьших квадратов

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓