Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Линейный метод наименьших квадратов




Аналитику часто приходится строить линейные зависимости, например, градуировочные прямые. Для обеспечения правильности результата анализа построение градуировочных зависимостей имеет решающее значение. Однако все результаты измерений характеризуются некоторой неопределенностью и данные, полученные для построения градуировочной зависимости, не составляют исключения. Они неизбежно имеют разброс относительно прямой, и часто прямую в таких случаях проводят интуитивно, на глаз, просто приложив линейку так, чтобы точки были разбросаны относительно прямой более-менее равномерно. Использование статистических методов позволяют определить наиболее вероятное расположение прямой.

В качестве основополагающего принципа обычно используют метод наименьших квадратов. Он состоит в следующем.

Экспериментальный набор данных наилучшим образом описывает та прямая, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от рассчитанных минимальна.

Если предполагается, что зависимость между переменными x и y линейна, то данные должны удовлетворять уравнению

y = mx +b

Символом y обозначена зависимая переменная (например, оптическая плотность при спектрофотометрических измерениях), символом х независимая переменная, параметрыmиb называются, соответственно, угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) и свободным членом.



Если х– заданная величина (например, концентрация), а yизмеряемая величина, то отклонения рассчитывают вдоль вертикальной оси.(В этом случае предполагают, что значения независимой переменной xi не содержат погрешностей).

Тогда величина yl в точности равна

yl = mxi +b.

Сумма квадратов отклонений S равна:

Наилучшей прямой является та, для которой величина S минимальна. Для нахождения соответствующих параметров следует продифференцировать выражение для S по b приравнять производные нулю и решить полученную систему из двух уравнений относительно mи b. Решениями являются

где – среднее из всех значений , а – среднее из всех значений ; n – число точек (пар значений xi, yi) .

Рис 4.3.1 Прямая, построенная по методу наименьших квадратов.

Пример.

В растворе определяли массовую концентрацию железа спектрофотометрическим методом, измеряя оптические плотности растворов, окрашенных в результате реакции взаимодействия иона Fe3+ с сульфосалициловой кислотой. Для построения градуировочной зависимости были измерены оптические плотности растворов с возрастающими (заданными) концентрациями железа, обработанных сульфосалициловой кислотой.

Требуется: по полученным данным (таблица 3.1) при помощи метода наименьших квадратов рассчитать параметры наилучшей прямолинейной зависимости и построить градуировочный график.

Таблица 4.3.1 –Исходные данные

Хi, мг Yi (А) Хi2 Хi· Yi
0,010 0,100 0,0001 0,001
0,020 0,210 0,0004 0,0042
0,030 0,290 0,0009 0,0087
0,040 0,420 0,0016 0,0168
0,050 0,530 0,0025 0,0265
Σ Хi=0,150 Σ Yi =1,550 Σ Х i2 = 0,0055 Σ Хi·Yi = =0,0572

Вычисляем:

1) средние значения аргументов и функции ( ) для n= 5 :

 

Решение

Подставив значения mи bв уравнениеyi= mxi +b

вычисляем соответствующие значения y1…… y5. По вычисленным значениям составляем таблицу 3.2.

 

Таблица 4.3.2 -Вычисленные значения для построения градуировочного графика

xi 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050
yl 0,096 0,203 0,31 0,417 0,524

По данным таблицы строим градуировочный график

 

y=mx+b

xi

Рис. 4.3.2 Градуировочный график, построенный при помощи метода наименьших квадратов

Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Читайте также:
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (5003)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.007 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7