В соответствии с ГОС, предшествующий уровень образования абитуриента должен быть не ниже (полного) среднего общего образования

Математика

 

Сборник заданий и упражнений для текущего контроля знаний

для направлений:

гостиничное дело, лингвистика, психолого-педагогическое образование, реклама и связи с общественностью, туризм, юриспруденция

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

 

Москва – 2013 г.

 

Автор – составитель:

 

Мелкумян Баграт Владимирович

 

Математика. Сборник заданий и упражнений для текущего контроля знаний.– М.: Московский университет им. С. Ю. Витте, 2013, _367_ стр.

 

 

Научный редактор:

 

док. тех. наук, проф. Парфенова М. Я.

 

 

Рецензенты:

 

 

канд. тех. наук, с. н. с. Казееев И. М., Московская академия экономики и права;

канд. физ.-мат. наук, доц. Сибирский В. К., Московский университет им. С. Ю. Витте

 

 

Сборникпредназначен для студентов всех форм обучения гуманитарных специальностей.

 

 

Печатается по решению научно-методического совета Московского университета им. С. Ю. Витте.

 

 

© Б. В. Мелкумян, 2013

© Московский университет им. С. Ю. Витте, 2013

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ.. 4

1. Алгебра высказываний. 6

1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат. 6

1.2. Основные законы математической логики. 9

2. Матрицы. 17

2.1. Алгебра матриц. 17

2.2. Вычисление определителей. 26

2.3. Вычисление обратной матрицы.. 32

3. Решение системы линейных уравнений. 38

3.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки. 39

3.2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.. 42

3.3. Решение системы по правилу Крамера. 44

3.4. Решение системы с помощью обратной матрицы.. 48

3.5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных) 51

3.6. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения. 62

4. Комплексные числа. 73

4.1. Понятие комплексного числа. 73

4.2. Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебра комплексных чисел. 76

5. Математические формулы и графики. 92

5.1. Математические формулы.. 92

5.2. Графики и основные свойства элементарных функций. 95

6. Пределы функций. 117

6.1. Основные методы вычисления пределов. 117

6.2. Замечательные пределы. 126

7. Производные функций. 135

7.1. Производные функций одной переменной. 135

7.2. Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений. 168

7.3. Частные производные. Примеры решений. 178

7.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. 185

7.5. Частные производные функции трёх переменных. 196

8. Интегралы.. 209

8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений. 209

8.2. Определенный интеграл. Примеры решений. 302

8.3. Несобственные интегралы. Примеры решений. 331

8.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов. 344

Приложение 1. Числа. 359

Приложение 2. Упражнения по элементам финансовой математики. 361

Приложение 3. План изучения курса. 365

ЛИТЕРАТУРА.. 367

Основной список. 367

Дополнительный список. 367

 

 

· Об авторе-составителе

Мелкумян Баграт Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент. Читает лекции и проводит семинарские занятия в Московском университете им. С. Ю. Витте по различным разделам дисциплины «Математика» на факультетах экономики и финансов, управления и юридическом. Преподает дисциплины «Базы данных», «Проектирование информационных систем», «Разработка и стандартизация программных средств и информационных технологий» и «Физика» на факультете управления для специальности «Прикладная информатика в экономике» различных форм обучения. Область научных интересов связана с разработкой лазерных устройств и использованием методов математической физики в системах управления.

 

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

 

Предлагаемый учебник не отвечает на вопрос: ЗАЧЕМ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Действительно, большинству из вас она никогда не потребуется. Это факт. Но изучение высшей математики предусмотрено учебными планами практически всех ВУЗов, и появляются задания, контрольные работы, которые необходимо сдавать. Тоже факт. Предлагаемое учебное пособие отвечает на вопрос: КАК ЭТО РЕШАТЬ?

Упражнения носят сугубо практическую направленность, и при изучении той или иной темы мы даже не всегда дадим строгие математические определения.

Так ЗАЧЕМ ЖЕ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Изучение высшей математики очень хорошо развивает интеллект, как «фитнес для ума». Если Вы освоили высшую математику, то сможете разобраться в любом предмете, в любой профессиональной деятельности. А может, и станете олигархом, или председателем кабинета министров, как Сергей Юльевич Витте, который имел математическое высшее образование.

 

Что самое трудное в математике?

Самым трудным при решении математических задач бывает правильно сформулировать вопрос. Правильно поставленный вопрос - это больше чем половина решения, часто это единственное, для чего требуется находчивость, тогда как для получения ответа требуются лишь общеизвестные способы вычисления, которыми тоже должен владеть студент. Кроме изобретения способов вычисления, математики заменили длинные описания определений короткими формулами.

 

Что такое абстракция?

Конкретные вещи мы видим, осязаем. Абстрактные понятия (например, свобода) требуют соответствующего определения. Нужно знать и понимать определения математических абстрактных понятий.

Попробуем разобраться, что же такое абстракция в математике. Например, само вычисление есть уже определенный вид абстракции, обычный для мышления примитивных людей, хотя они не отдают себе в этом отчета. Пастух, пересчитывающий стадо, заботится только о том, сколько овец в наличии. Ему безразлично, каковы овцы - молодые или старые, белые или черные, действует принцип «штука, как штука».

Именно в этом существо абстракции: обращаем внимание только на некоторые особенности наблюдаемых предметов, отвлекаясь (абстрагируясь) от остальных. Математика безучастна к особенным свойствам предметов и изучает только их пространственные формы (геометрия) и количественные соотношения (анализ), т.е. то, что неизменно в самых различных областях. При изучении математических объектов обнаруживается родство между явлениями, на первый взгляд, совершенно различными.

 

 

В соответствии с ГОС, предшествующий уровень образования абитуриента должен быть не ниже (полного) среднего общего образования.

Абитуриент должен иметь документ государственного образца о среднем (полном) общем образовании, или среднем профессиональном образовании, или начальном профессиональном образовании, если в нем есть запись о получении предъявителем среднего (полного) общего образования, или высшего профессионального образования.

Курс содержит множество новых для студента объектов и понятий. Установление логических взаимосвязей между ними вызывает у студентов экономических и юридических специальностей определенные затруднения и проходит не в полной мере. Поэтому в этом курсе выбран классический порядок изложения: от разделов о простых объектах – к составным, и от общих разделов - к частным понятиям.

Наиболее приемлемыми формами для эффективного освоения курса «Математика» признаны основные лекционные и семинарские занятия. Они предусматривают последующее самостоятельное изучение студентом основной и дополнительной литературы, а также различные формы занятий в кружках, проводимых профессорско-преподавательским составом, для изучения дополнительных возможностей и практических приложений курса.

Методика изучения курса «Математика» предусматривает в дальнейшем проведение лекционных и семинарских занятий, в том числе в программных средах MathCAD, MS Excel, VBA и др., компьютерных рубежных тестирований на знание основных понятий, контрольных работ и сдачу зачётов и экзаменов.

Вопросы и задания для самостоятельной работы определяются перечнями контрольных вопросов к экзаменам по разделам курса.

 

Алгебра высказываний