Основная цель математической логики

Основной целью математической логики является обеспечение системы формальных обозначений для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни.

Решим следующую задачу, используя законы сложения и умножения высказываний.

Задача 4. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был чёрный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только её цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?

Решение:

1) Перечислим все имеющиеся высказывания:

Aº{машина синего цвета} – 1-е показание Брауна,

Bº{машина марки «Бьюик»} – 2-е показание Брауна,

Cº{машина чёрного цвета} – 1-е показание Джонса,

Dº{машина марки «Крайслер»} – 2-е показание Джонса,

Eºмашина марки «Форд Мустанг»} – 1-е показание Смита,

– 2-е показание Смита.

2) По условию задачи каждый из подозреваемых сказал правду или только про марку машины, или только про её цвет.

Т.к. Браун дал показания А, В, то А или В – правда, что в записи математической логики будет выглядеть: «истина».

Джонс дал показания C, D, т.е. С или D – правда, что есть «истина».

Смит дал показания E, , т.е. Е или – правда, что есть «истина».

3) Следствие имеет показания Брауна и Джонса и Смита, т.е.

и и ,

что в записи математической логики есть

«истина»,

т.к. истинно каждое из высказываний , , .

4) Имеем: «истина».

Перепишем последнее выражение, учитывая, что Ú является логической суммой, а Ù есть логическое произведение:

«истина».

Раскроем скобки:

«истина».

5) Проанализируем каждое из слагаемых полученного выражения:

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина и синего и не синего цвета;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина и синего и чёрного цвета;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина и синего и не синего цвета;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Крайслер» (D) и машина «Форд Мустанг» (E);

{машина марки «Бьюик»; и машина чёрного цвета; и машина не синего цвета}

– в этом выражении внутренних противоречий нет, но мы пока что не знаем, истинно оно или ложно;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Бьюик» и машина «Форд Мустанг» ;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Бьюик» и машина «Крайслер» ;

«ложь», т.к. в этом выражении одновременно утверждается, что машина «Бьюик» и машина «Крайслер» .

6) Получили:

«ложь» Ú «ложь» Ú «ложь» Ú «ложь» Ú Ú «ложь» Ú «ложь» Ú «ложь» =

= Ú «ложь» = «истина».

Значит = «истина», т.е. преступники скрылись на чёрном «Бьюике».