Дифференциал функции одной переменной для приближенных вычислений
Коль скоро мы не объяснили (на данный момент) строго, что такое производная функции, то не имеет смысла объяснять, и что такое дифференциал функции. В самой примитивной формулировке дифференциал – это «почти то же самое, что и производная». Точнее – это производная, умноженная на приращение аргумента функции. Производная функции чаще всего обозначается через . Дифференциал функции стандартно обозначается через (так и читается – «дэ игрек») Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде: Другой вариант записи: Простейшая задача: Найти дифференциал функции 1) Первый этап. Найдем производную: 2) Второй этап. Запишем дифференциал: Готово.
Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений. Помимо других задач с дифференциалом время от времени встречается и «чистое» задание на нахождение дифференциала функции. Кроме того, как и для производной, для дифференциала существует понятие дифференциала в точке. И такие примеры мы тоже рассмотрим.
Пример 7 Найти дифференциал функции . Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё додифференцирования? Смотрим на наш пример. Во-первых, можно преобразовать корень: (корень пятой степени относится именно к синусу). Во-вторых, замечаем, что под синусом у нас дробь, которую, очевидно, предстоит дифференцировать. Формула дифференцирования дроби очень громоздка. Нельзя ли избавиться от дроби? В данном случае – можно, почленно разделим числитель на знаменатель: Функция сложная. В ней два вложения: под степень вложен синус, а под синус вложено выражение . Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции два раза: Запишем дифференциал, при этом снова представим в первоначальном «красивом» виде: Готово. Когда производная представляет собой дробь, значок обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты).
Пример 8 Найти дифференциал функции . Это пример для самостоятельного решения.
Следующие два примера на нахождение дифференциала в точке.
Пример 9 Вычислить дифференциал функции в точке Найдем производную: Производная вроде бы найдена. Но в это всё предстоит еще подставлять число, поэтому результат максимально упрощаем: Труды были не напрасны, записываем дифференциал: Теперь вычислим дифференциал в точке : В значок дифференциала единицу подставлять не нужно, он немного из другой оперы. Ну и хорошим тоном в математике считается устранение иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на . Окончательно:
Пример 10 Вычислить дифференциал функции в точке . В ходе решения производную максимально упростить. Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.
Вторая производная
Всё очень просто. Вторая производная – это производная от первой производной: Стандартные обозначения второй производной: , или (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»).
Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…». А студент сидит и битый час чешет репу, что это вообще такое, и почему в дроби d не сокращены.
Рассмотрим простейший пример. Найдем вторую производную от функции . Для того чтобы найти вторую производную, как многие догадались, нужно сначала найти первую производную: Теперь находим вторую производную: Готово.
Рассмотрим более содержательные примеры.
Пример 11 Найти вторую производную функции Найдем первую производную: На каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит дифференцировать произведение двух функций, и мы избавимся от этой неприятности, применив известную тригонометрическую формулу . Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении: : Находим вторую производную: Готово. Можно было пойти другим путём – понизить степень функции еще перед дифференцированием, используя формулу : Если интересно, возьмите первую и вторую производные снова. Результаты, естественно, совпадут.
Отметим, что понижение степени бывает очень выгодно при нахождении частных производных функции. Здесь же оба способа решения будут примерно одинаковой длины и сложности. Как и для первой производной, можно рассмотреть задачу нахождения второй производной в точке. Например: Вычислим значение найденной второй производной в точке : Необходимость находить вторую производную и вторую производную в точке возникает при исследовании графика функции на выпуклость/вогнутость и перегибы.
Пример 12 Найти вторую производную функции . Найти . Это пример для самостоятельного решения.
Аналогично можно найти третью производную, а также производные более высоких порядков. Такие задания встречаются, но значительно реже.
Решения и ответы: Пример 2: Найдем производную: Вычислим значение функции в точке :
Пример 4: Найдем производную:
Вычислим производную в заданной точке:
Пример 6: Уравнение касательной составим по формуле 1) Вычислим значение функции в точке :
2) Найдем производную. Перед дифференцированием функцию выгодно упростить:
3) Вычислим значение производной в точке :
4) Подставим значения , и в формулу :
Пример 8: Преобразуем функцию:
Найдем производную:
Запишем дифференциал:
Пример 10: Найдем производную:
Запишем дифференциал:
Вычислим дифференциал в точке : .
Пример 12: Найдем первую производную:
Найдем вторую производную:
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1465)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |