Производная функции, заданной неявно
Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку данный курс носит практическую направленность, мы стараемся избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция? Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции . Переменная называется независимой переменнойили аргументом. Переменная называется зависимой переменной или функцией. Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция. До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах. Рассмотрим функцию . Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция y в явном видевыражена через независимую переменную x. Рассмотрим другую функцию: . Здесь переменные x и y расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможновыразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится. Разрешите познакомить: , – пример неявной функции. В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует(однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права неявной функции соблюдены. На этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас. Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму (без камня перед тремя дорожками).
Пример 1 Найти производную от функции, заданной неявно . 1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части: 2) Используем правила линейности производной: 3) Проводим непосредственное дифференцирование. Как дифференцировать и - совершенно понятно. Но что делать там, где под штрихами есть «игреки»? – просто до безобразия, это производная от функции, равная её производной: . Как дифференцировать . Здесь у нас сложная функция. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ(см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, y – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции : Произведение дифференцируем по обычному правилу : Обратите внимание, что – это тоже сложная функция, и любой «игрек с наворотами» – это сложная функция: Само оформление решения должно выглядеть примерно так: Если есть скобки, то раскрываем их: 4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное: 5) В левой части выносим производную за скобки: . 6) По правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части: Производная найдена. Готово. Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы: «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» - более общая. Например (до преобразований), – это функция, заданная в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под выражением «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.
Второй способ решения Внимание!Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша.
Найдем производную неявной функции вторым способом. Переносим все слагаемые в левую часть: И рассматриваем функцию двух переменных: Тогда нашу производную можно найти по формуле . Найдем частные производные: Таким образом: Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен. Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2 Найти производную от функции, заданной неявно Навешиваем штрихи на обе части: Используем правила линейности: Находим производные: Раскрываем все скобки: Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные – в правую часть: В левой части выносим за скобку: Окончательный ответ:
Пример 3 Найти производную от функции, заданной неявно Полное решение и образец оформления в конце урока. Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.
Пример 4 Найти производную от функции, заданной неявно . Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности: Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного : Раскрываем скобки: Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится . Умножаем каждое слагаемое каждой части на . Если подробно, то выглядеть это будет так: Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например, , то операцию нужно было бы повторить – умножить каждое слагаемое каждой части на . Далее алгоритм работает стандартно, после того, как все скобки раскрыты, все дроби устранены, слагаемые, где есть «игрек штрих» собираем в левой части, а в правую часть переносим всё остальное: В левой части выносим за скобку: Окончательный ответ: .
Пример 5 Найти производную от функции, заданной неявно . Это пример для самостоятельного решения. Единственное, в нём, перед тем как избавиться от дроби, предварительно нужно будет избавиться от трехэтажности самой дроби. Полное решение и ответ в конце урока.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1357)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |