Частные производные второго порядка функции трёх переменных
Общий принцип нахождения частных производных порядка второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных. Для того чтобы найти частные производные второго порядка, необходимо сначала найти частные производные первого порядка или, в другой записи: . Частных производных второго порядка девять штук. Первая группа – это вторые производные по тем же переменным: или – вторая производная по «икс»; или – вторая производная по «игрек»; или – вторая производная по «зет». Вторая группа – это смешанные частные производные 2-го порядка, их шесть: или – смешанная производная «по икс игрек»; или – смешанная производная «по игрек икс»; или – смешанная производная «по икс зет»; или – смешанная производная «по зет икс»; или – смешанная производная «по игрек зет»; или – смешанная производная «по зет игрек». Как и для случая функции двух переменных, при решении задач можно ориентироваться на следующие равенства смешанных производных второго порядка: .
Примечание: строго говоря, это не всегда так. Для равенства смешанных производных необходимо выполнение требования их непрерывности.
На всякий случай несколько примеров, как правильно читать сиё безобразие вслух: – «у два штриха дважды по игрек»; – «дэ два у по дэ зет квадрат»; – «у два штриха по икс по зет»; – «дэ два у по дэ зет по дэ игрек».
Пример 10 Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных: . Решение:Сначала найдем частные производные первого порядка: Частные производные второго порядка рекомендую начинать искать со смешанных производных, поскольку это позволит выяснить, а правильно ли вообще найдены производные первого порядка. Берём найденную производную и дифференцируем её по «игрек»: Берём найденную производную и дифференцируем её по «икс»: Равенство выполнено. Хорошо. Разбираемся со второй парой смешанных производных. Берём найденную производную и дифференцируем её по «зет»: Берём найденную производную и дифференцируем её по «икс»: Равенство выполнено. Хорошо. Аналогично разбираемся с третьей парой смешанных производных: Равенство выполнено. Хорошо.
После проделанных трудов гарантированно можно утверждать, что, во-первых, мы правильно нашли все частные производные 1-го порядка, во-вторых, правильно нашли и смешанные частные производные 2-го порядка.
Осталось найти ещё три частные производные второго порядка, вот здесь уже во избежание ошибок следует максимально сконцентрировать внимание: Готово. Повторюсь, задание не столько сложное, сколько объемное. Решение можно сократить и сослаться на равенства смешанных частных производных, но в этом случае не будет проверки. Поэтому лучше потратить время и найти всепроизводные (к тому же это может потребовать преподаватель), или, в крайнем случае, выполнить проверку на черновике.
Пример 11 Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных . Это пример для самостоятельного решения.
Решения и ответы: Пример 2: Решение:
Пример 4:Решение:Найдем частные производные первого порядка.
Составим полный дифференциал первого порядка:
Пример 6: Решение: Вычислим частные производные первого порядка в точке M(1, -1, 0):
Пример 7: Решение: Вычислим частные производные первого порядка в точке M(1, 1, 1):
Пример 9: Решение: Найдем частные производные первого порядка:
Пример 11: Решение:Найдем частные производные первого порядка:
Найдем частные производные второго порядка:
.
Интегралы
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1858)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |