Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами: – Подведение функции под знак дифференциала. – Собственно замена переменной. По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному. Начнем с более простого случая.
Подведение функции под знак дифференциала
На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решениймы научились раскрывать дифференциал. Напоминаем пример, который мы приводили: . То есть, раскрыть дифференциал – это почти то же самое, что найти производную.
Пример 1 Найти неопределенный интеграл. . Выполнить проверку. Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать? Подводим функцию (3x + 1) под знак дифференциала: . Раскрывая дифференциал, легко проверить, что, действительно, проведено тождественное преобразование: Фактически и – это запись одного и того же. Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: . Почему так, а не иначе?
Формула и все другие табличные формулы справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменнойx, но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ(в нашем примере - это 3x + 1) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.
Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так:
«Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент (3x + 1) и формулой я сразу воспользоваться не могу. Но если мне удастся получить (3x + 1) и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу d(3x + 1), тогда: d(3x + 1) = (3x + 1)’dx = 3dx. Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо её домножить на (1/3)».
В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись: . Теперь можно пользоваться табличной формулой : Готово. Единственное отличие: у нас не буква «икс», а сложное выражение (3x + 1).
Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела, подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила.
Пример 2 Найти неопределенный интеграл . Выполнить проверку. Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: . Подводим функцию (5 - 2x) под знак дифференциала: Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Получается -2dx, значит, чтобы ничего не изменилось, надо домножить интеграл на (-1/2). Далее используем табличную формулу : Проверка: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Пример 3 Найти неопределенный интеграл . Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Пример 4 Найти неопределенный интеграл . Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи: И так далее.
В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на случае, когда в линейной функции переменная x входит с единичным коэффициентом, например: . Строго говоря, решение должно выглядеть так: . Как видите, подведение функции (x+3)под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2847)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |