Формула применяется слева направо
Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за u, а что-то за dv. В интегралах рассматриваемого типа заu всегда обозначается логарифм. Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем: То есть, за u мы обозначили логарифм, а за dv – оставшуюся частьподынтегрального выражения. Следующий этап: находим дифференциал du: Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках. Теперь находим функцию v. Для того чтобы найти функцию v необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства dv = dx: Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: . Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками: Единственный момент, в произведении uv я сразу переставил местами u и v, так как множитель x принято записывать перед логарифмом. Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам. Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом, обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс». Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно. В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно. Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.
Пример 2 Найти неопределенный интеграл. . Подынтегральная функция представляет собой произведение логарифма на многочлен. Решаем. Мы еще один раз подробно распишем порядок применения правила, в дальнейшем примеры будут оформляться более кратко, и, если у Вас возникнут трудности в самостоятельном решении, нужно вернуться обратно к первым двум примерам урока. Как уже говорилось, за u необходимо обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За dv обозначаем оставшуюся частьподынтегрального выражения. Записываем в столбик: Сначала находим дифференциал du: Здесь использовано правило дифференцирования сложной функции . Не случайно, на самом первом уроке темы Неопределенный интеграл. Примеры решений мы акцентировали внимание на том, что для того, чтобы освоить интегралы, необходимо «набить руку» на производных. С производными придется столкнуться еще не раз. Теперь находим функцию v, для этого интегрируем правую частьнижнего равенства : Для интегрирования мы применили простейшую табличную формулу . Теперь всё готово для применения формулы . Открываем «звёздочкой» и «конструируем» решение в соответствии с правой частью : Под интегралом у нас снова многочлен на логарифм! Поэтому решение опять прерывается и правило интегрирования по частям применяется второй раз. Не забываем, что за u в похожих ситуациях всегда обозначается логарифм. . Хорошо бы, если к данному моменту простейшие интегралы и производные Вы умели находить устно. (1) Не путаемся в знаках! Очень часто здесь теряют минус, также обратите внимание, что минус относится ко всейскобке , и эти скобки нужно корректно раскрыть. (2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем. (3) Берем последний интеграл. (4) «Причесываем» ответ. Необходимость дважды (а то и трижды) применять правило интегрирования по частям возникает не так уж и редко.
А сейчас пара примеров для самостоятельного решения:
Пример 3 Найти неопределенный интеграл . Этот пример решается методом замены переменной (или подведением под знак дифференциала)! Можете также попробовать взять его по частям, получится забавная вещь.
Пример 4 Найти неопределенный интеграл . А вот этот интеграл интегрируется по частям (обещанная дробь).
Это примеры для самостоятельного решения, решения и ответы в конце урока.
В примерах 3, 4 подынтегральные функции похожи, а вот методы решения – разные! В этом-то и состоит основная трудность освоения интегралов – если неправильно подобрать метод решения интеграла, то возиться с ним можно часами, как с самой настоящей головоломкой. Поэтому чем больше вы прорешаете различных интегралов – тем лучше, тем легче пройдут зачет и экзамен. Кроме того, на втором курсе будут дифференциальные уравнения, а без опыта решения интегралов и производных делать там нечего.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1790)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |