Подведение числителя под знак дифференциала
Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты a, b и f не равны нулю). То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?
Пример 14 Найти неопределенный интеграл . Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм. 1) Когда дан интеграл вида или (где коэффициенты a, b и f не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор. 2) Сформируем числитель подынтегрального выражения тождественными преобразованиями (выразим числитель через знаменатель). Для этого пока просто заключаем выражение, которое находится в данном примере в знаменателе (неважно – под корнем или без корня), под знак дифференциала: . 3) Раскрываем дифференциал: . Смотрим на числитель нашего интеграла: Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, 3x. В данном случае с подходящим множителем получится: . 4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал: Снова смотрим на числитель нашего интеграла: . Уже ближе, но у нас получилось не «то» слагаемое (+2), а другое: (+3/2). 5) К нашему дифференциалу приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции: . – Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять) наше «не то» слагаемое: – Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала: – Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы: . 6) Выполняем проверку: У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно. Чистовое оформление решения выглядит примерно так: (1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме. (2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать (3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов. (4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу C припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе). Остальное дело техники. И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.
Пример 15 Найти неопределенный интеграл .
Пример 16 Найти неопределенный интеграл .
Для решения Примеров 15 и 16 будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в нашей справочной таблице: . Как видите, интегрирование дробей - дело кропотливое, часто приходится применять искусственные приемы и подборы. Но что делать… Существуют и другие виды дробей, так называемые дробно-рациональные функции, они решаются методом неопределенных коэффициентов. Но это уже тема урока Интегрирование дробно рациональных функций.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: .
Пример 4: Решение: .
Пример 7: Решение:
Пример 8: Решение: .
Пример 10: Решение: .
Пример 13: Решение: .
Пример 15: Решение: Пример 16: Решение: .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1426)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |