Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции

 

Перейдем к рассмотрению случая, когда старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя.

 

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

.

Совершенно очевидно, что данная дробь является неправильной, так как 4>3.

Основной метод решения интеграла с неправильной дробно-рациональной функций – это деление числителя на знаменатель. Да-да, делить будем столбиком, как самые обычные числа в школе.

Напоминаю алгоритм. Сначала рисуем «заготовку» для деления:

.

ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами.

Теперь маленькая задачка: на какой множитель нужно умножить , чтобы получить ? Очевидно, что на :

Далее умножаем сначала на , потом – на , потом – на , потом – на 0 и записываем результаты слева:

Проводим черточку и производим вычитание (из верха вычитаем низ):

Старшая степень остатка равна двум, старшая степень делителя – больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы изначально у нас был в числителе многочлен пятой степени, то алгоритм деления увеличился бы на один шаг.

Итак, наше решение принимает следующий вид:

Делим числитель на знаменатель:

.

(1) Что дало деление? Много хорошего: теперь у нас два слагаемых, первое интегрируется совсем просто, а второе – правильная дробь, которую мы решать уже умеем.

После деления всегда желательно выполнять проверку.

В рассматриваемом примере можно привести к общему знаменателю выражение

,

и в результате получится в точности исходная неправильная дробь

.

(2) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители

Дальше всё идет по накатанной схеме:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

.

Готово.

 

И, наконец, заключительный пример для самостоятельного решения. Он очень интересен, рекомендуем всем!

 

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

.

 

Заметим, что во всех примерах урока в ходе решения систем у нас получались «хорошие» целые коэффициенты A, B и C. Это происходило по той причине, что почти все интегралы были взяты из сборника задач по высшей математике для экономистов. На практике же часто будут появляться разные нехорошести.

Таким образом, если в ходе решения интеграла от дробно-рациональной функции у Вас получаются дробные значения коэффициентов A, B, C,…, то в этом нет ничего страшного, ситуация даже обыденна.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

;

; ;

.

Комментарий. В правой части у нас нет слагаемого с x², поэтому в первом уравнении системы ставим справа ноль.

.

 

Пример 4: Решение:

Шаг 1.Проверяем, правильная ли у нас дробь?

Старшая степень числителя - 6. Старшая степень знаменателя - 8. Так как 6<8, то дробь является правильной.

Шаг 2.Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Множитель (x²+4) разложить нельзя, а вот (x²-4) – можно:

.

Шаг 3.Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей.

В данном случае, разложение имеет следующий вид:

 

Пример 6: Решение:

.

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

.

.

.

 

Пример 7: Решение:

.

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

.

.

Пример 9: Решение:

(1) Здесь неправильная дробь, поскольку старшие степени числителя и знаменателя равны: 3 = 3. Для того чтобы разделить числитель на знаменатель придётся временно раскрыть скобки в знаменателе.

(2)-(3) Теперь можно разделить числитель на знаменатель , но делать этого… я не буду. Можно поступить хитрее. Прибавим и вычтем из числителя выражение: (-x²-x+1).

(4) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель оставшейся, уже правильной, дроби снова записываем в виде произведения множителей. Тут я немного сокращено разложение, надеюсь, всем понятно, что .

Далее очевидно…

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

.

.