Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла. Тригонометрическая подстановка
Это очень важная задача, поскольку будет рассмотрен типовой интеграл и приём решения, который неоднократно встретится в будущем. Но сначала небольшое напоминание по уравнению окружности. Уравнение вида В частности, уравнение
Пример 4 Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью с уравнением
Сначала вычислим площадь круга с помощью известной школьной формулы. Если радиус круга Для того, чтобы вычислить площадь круга с помощью определенного интеграла, необходимо из уравнения Верхняя полуокружность задается уравнением Нижняя полуокружность задается уравнением Можно подставить несколько точек окружности в эти уравнения и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений. Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь одного сектора в 1-ой четверти (заштрихован синим цветом), а затем результат умножить на 4. Таким образом:
Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в Примере 6 раздела Сложные интегралы, он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены: Проведём замену: Почему именно такая замена, очень скоро станет понятно, а пока найдем дифференциал: Выясним, во что превратится корень, который распишем очень подробно:
Если в ходе решения вы не сможете догадаться применить формулу наподобие После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена Осталось вычислить новые пределы интегрирования: Если Новый нижний предел интегрирования: Новый верхний предел интегрирования: Таким образом:
Площадь сектора необходимо умножить на 4, следовательно, площадь всей окружности: Вероятно, у некоторых возник вопрос, зачем вообще мучиться с интегралом, если есть короткая школьная формула S = π∙r2? А дело в том, что возможность очень точно вычислить площадь круга появилась только с развитием математического анализа, хотя уже в древности Архимед площадь круга рассчитывал с приличной точностью. Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного окружностью произвольного радиуса: Следует отметить, что к решению данной задачи можно было применить и другой подход – вычислить площадь верхнего полукруга с помощью интеграла
а затем удвоить результат. Но в силу чётности подынтегральной функции решение сводится к оптимальной версии:
Еще раз подчеркнём важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике не раз и не два. Поэтому, для закрепления материала, чуть - более сложное задание для самостоятельного решения:
Пример 5 Вычислить определенный интеграл
По условию требуется вычислить определенный интеграл, поэтому чертеж выполнять не нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом в замене
Читайте также: Cловообразование с помощью суффиксов Рекомендуемые страницы: Читайте также: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ![]() ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1275)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |