Свойства треугольника Паскаля
. Числа, равноудаленные от концов треугольника Паскаля, равны. . Для нахождения -го числа -й строки треугольника Паскаля надо умножить ‑ое на и поделить на . . Каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, находящихся над ним. . Сумма чисел n-ой строки треугольника Паскаля равна . Свойство позволяет легко заменить в таблице обозначения конкретными числами, не пользуясь формулой числа сочетаний. Получаем следующую таблицу: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 . . . . . . . . . . Таблица 2. Для получения этой таблицы надо на сторонах треугольника записать единицы, а внутренность угла при вершине заполнять, идя сверху вниз суммами стоящих рядом чисел предыдущей строки. Например, число 10 в пятой строке табл. 2 получено сложением чисел 4 и 6 предыдущей строки. Бином Ньютона
Приведем формулу для возведения суммы двух чисел в натуральную степень. Прежде всего, заметим, что числа стоящие с строках треугольника Паскаля, встречаются при возведении в степень двучлена : , . Но коэффициенты 1, 2, 1 – это числа, стоящие во второй (напоминаем, что мы ведем счет с 0) строке таблицы 2, т.е. , а 1, 3, 3, 1 – числа, стоящие в третьей строке той же таблицы, т.е. . Это замечание позволяет предположить, что справедливо следующее утверждение. Т е о р е м а 5.Длялюбых чисел и натурального числа справедлива формула = + + + … + + … + . (1)
□ Доказательство формулы (6) проведем индукцией по n, используя свойство сочетаний. База индукции. При имеем = = + и, следовательно, формула (1) справедлива. Шаг индукции. Предположим, что формула (6) справедлива при , т.е. = + + … + + … + . (2) Чтобы доказать справедливость равенства (1) при , умножим обе части равенства (2) на : = + + … + + … + . Раскрывая скобки и приводя подобные в правой части последнего равенства, получаем = + + … + + … + . Учитывая очевидные равенства = , = и свойство сочетаний, имеем = + + … + + … + . Итак, формула (1) справедливо при + 1. Вывод. Формула (1) справедлива при любом натуральном . Формулу (1) называют обычно формулой бинома Ньютона, хотя она была известна задолго до Ньютона уже упоминавшемуся Гиясэддину Каши, а также Паскалю и другим. Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел обобщение формулы (6) на случай нецелых показателей. Формулу (1), учитывая, что = , в развернутом виде можно переписатьв следующем виде: = + + + … …+ + … + + . ( ) С помощью формулы бинома Ньютона можно получить некоторые из доказанных ранее свойств сочетаний, а также вывести иные их свойства, и наоборот, свойства сочетаний позволяют упрощать вычисления коэффициентов в формуле (1). Числа , , …, называются биномиальными коэффициентами. Поскольку эти числа записаны в n‑ой строке треугольника Паскаля, то перефразируя его свойства получаем следующие
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1564)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |