Лекция 10. Цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП)

 

ЦАП служит для преобразования цифровой информации в аналоговую форму, т.е. выходной сигнал ЦАП в общепринятых единицах измерения тока или напряжения (мВ, В, мА) соответствует численному значению входной кодовой комбинации.

Например, при подаче на вход ЦАП кодовой комбинации (в десятичном эквиваленте) равной 150 на его выходе при этом имеется напряжение 1500 мВ, это значит, что изменение значения входной кодовой комбинации (входного числа) на единицу приводит к изменению выходного напряжения на 10 мВ. В этом случае мы имеем ЦАП с шагом преобразования цифровой информации 10 мВ. Величина напряжения, соответствующая одной единице цифровой информации, называется шагом квантования Duкв. При подаче на вход ЦАП последовательной цифровой комбинации, меняющейся от 0 до N, на его выходе появится ступенчато-нарастающее напряжение (рис. 5.1). Высота каждой ступени соответствует одному шагу квантования Duкв.

 

 

Если число входной кодовой комбинации соответствует N, то выходное напряжение Uвых ЦАП = ND´uкв. Таким образом можно вычислить значение выходного напряжения для любой входной кодовой комбинации. Нетрудно убедиться в том, что Duкв является масштабным коэффициентом преобразователя, имеющим размерность тока или напряжения (так как цифровая комбинация на входе ЦАП размерности не имеет). Обычно, значение Duкв выбирают кратным десяти, что облегчает процесс пересчета соответствия преобразованного и исходного сигналов. Так как Duкв определяет минимальное значение выходного напряжения аналогового сигнала Uвых мин. = Duкв, при выборе его значения необходимо учитывать также шумовые факторы, погрешности усиления масштабирующих усилителей и компаратора.

Основные параметры ЦАП. Точность преобразования и качество работы ЦАП характеризуют следующие параметры: относительная разрешающая способность, абсолютная разрешающая способность, абсолютная погрешность преобразования, нелинейность преобразования, дифференциальная нелинейность, скорость преобразования (время одного преобразования) и максимальная частота преобразования.

1. Относительная разрешающая способность

dо = ,

 

 

здесь n- количество разрядов двоичного числа, подаваемого на вход АЦП (n - соответствует числу разрядных входов ЦАП). Относительная разрешающая способность - это обратная величина от максимального числа уровней квантования.

2. Абсолютная разрешающая способность

dа = Duкв,

 

 

где Uпш - напряжение полной шкалы, соответствующее опорному напряжению ЦАП. Это напряжение можно считать равным максимальному выходному напряжению; 2n - 1 = N - количество ступеней квантования.

Численно абсолютная разрешающая способность равна шагу квантования Duкв.

3. Абсолютная погрешность преобразования dпш показывает максимальное отклонение выходного напряжения Uвых в точке пересечения с идеальной характеристикой (прямой) на уровне напряжения полной шкалы (рис.5.2). Абсолютная погрешность преобразования оценивается в процентах или же в единицах младшего значащего разряда (МР). При оценке значения абсолютной погрешности преобразования знак напряжения не учитывается.

4. Нелинейность преобразования ЦАП dлн определяет максимальное отклонение реальной характеристики от идеальной (рис. 5.2) и оценивается также в процентах или в единицах младшего значащего разряда.

 

 

5. Дифференциальная нелинейность преобразования ЦАП dдф.лн численно равна максимальной разности двух соседних приращений (шагов квантования)

dдф.лн = Duкв 1 - Duкв2.

Дифференциальная нелинейность оценивается в младших значащих разрядах и обычно не превышает нескольких единиц мр.

Младший значащий разряд численно определяет минимальное значение выходного напряжения, т.е. квант напряжения. Для оценки дифференциальной нелинейности dдф.лн в процентах можно воспользоваться выражением

.

 

 

Время установления выходного напряжения или тока tуст - интервал времени от подачи входного двоичного входного кода до вхождения выходного сигнала в заданные пределы. Максимальная частота преобразования fпр - наибольшая частота дискретизации, при которой параметры ЦАП соответствуют заданным значениям. Максимальная частота и время установления определяют быстродействие ЦАП.

Виды ЦАП условно можно разделить на две группы: с резисторными матрицами, безматричные ЦАП. В интегральном исполнении применяются только ЦАП с прецизионными резисторными матрицами, формирующими выходные сигналы путем суммирования токов.

ЦАП содержит элементы цифровой и аналоговой схемотехники. В качестве аналоговых элементов используются операционные усилители, аналоговые ключи (коммутаторы), резисторные матрицы и т.д.

Аналоговые элементы, входящие в состав ЦАП, практически полностью определяют его качественные и эксплуатационные параметры, основную роль при этом играют точность подбора номиналов резисторов резисторной матрицы и параметров операционного усилителя (ОУ).

Операционный усилитель представляет собой усилитель постоянного тока, имеющий коэффициент усиления по напряжению более тысячи. Он имеет дифференциальный входной каскад, т.е. имеет два входа: инвертирующий и неинвертирующий.

Своему названию ОУ “обязан” аналоговым вычислительным машинам, так как первоначально он был ориентирован на моделирование различных математических операций. Появление ОУ в виде интегральных микросхем привело к быстрому росту популярности ОУ в реализации аналоговой и гибридной электронной схемотехники. Условное обозначение ОУ показано на рис. 5.3.

 

 

Благодаря большому коэффициенту усиления (современные ОУ имеют коэффициент усиления К=105 ...106) и малым входным токам, усилители, построенные на базе ОУ, обладают уникальными свойствами. В частности, параметры многих устройств определяются только внешними цепями - цепями обратной связи, соединяющими выход ОУ с его входом. Например, коэффициент усиления усилителя, схема которого показана на рис. 5.4 (а), определяется с высокой точностью отношением сопротивлений двух резисторов К=-Rос/R.

 

Если на инвертирующий вход усилителя на ОУ подать сигнал от нескольких источников (рис. 5.4, б), то выходной сигнал определяется как произведение суммы входных токов на величину сопротивления резистора обратной связи

Uвых = -Rос(Iвх1+Iвх2+. . . . +Iвх.n).

Входной ток от каждого источника определяется как отношение

Iвх=Uвх/Ri,

где Ri - сопротивление резистора в цепи i-того входа.

Свойство ОУ суммировать входные токи с последующим преобразованием в напряжение широко используется при построении ЦАП и АЦП. На базе ОУ можно построить компараторы напряжения (сравнивающие устройства). При использовании ОУ в качестве компаратора напряжения на один его вход подается опорное напряжение Uоп, на второй - напряжение обрабатываемого (преобразуемого) сигнала Ux. При соответствующих условиях на выходе компаратора формируется сигнал логической“1”, если (Uоп - Ux) >Duкв, и логического “0”, если (Uоп - Ux)<Duкв (рис. 5.5). Шаг квантования Duкв обычно выбирается в пределах 5 . . . 10 мВ. Значение опорного напряжения и время установки компартора зависят от конкретного типа используемой интегральной микросхемы и условий его эксплуатации.

 

 

При построении ЦАП и АЦП применяются аналоговые ключи, коммутирующие цепи аналоговых сигналов под воздействием управляющих цифровых сигналов. Токи, коммутируемые электронными аналоговыми ключами, не превышают 10 . . . 50 мА. Относительно высокое сопротивление открытого ключа (50 - 600 Ом) требует наличия высокоомной нагрузки, что обеспечивается высокоомным входным сопротивлением ОУ.

При реализации ЦАП в интегральном исполнении большие трудности вызывает подгонка высокоточных резисторов с сопротивлениями, отличающимися по номиналам друг от друга на несколько порядков. Поэтому, в интегральном исполнении применяются исключительно резистивная матрица R-2R. В качестве примера рассмотрим четырехразрядный ЦАП, использующий схему суммирования токов на ОУ (рис. 5.6).

 

 

Относительная разрешающая способность рассматриваемого ЦАП:

dо = = 0,0625.

 

 

Абсолютная разрешающая способность определяется при известном значении опорного напряжения Uоп. Наиболее удобными значениями Uоп являются напряжения, кратные степени двойки, т.е. 10,24 В, 5,12 В, 2,56 В и т.д.

Если принять значение опорного напряжения равным 10,24 В, то абсолютная разрешающая способность (DUкв) определяется как:

DUкв=0,0625 × 10,24 = 0,625В.

Сопротивление резистора в цепи ключа, управляемого старшим разрядом двоичного кода, должно быть в два раза больше сопротивления резистора обратной связи Rос. Сопротивление каждого последующего младшего разряда в два раза больше, чем сопротивление соседнего старшего разряда. Отсюда следует, что с увеличением количества разрядов цифровых входов ЦАП резко увеличивается соотношение сопротивлений резисторов нулевого и самого старшего разрядов (R0=2nRn):

R0/Rn=2n = T.

Если n=8, то это отношение составляет 256. Увеличение Т может привести к чрезмерному увеличению сопротивления резистора младшего разряда или же к сильному уменьшению номинала резистора самого старшего разряда. Поэтому ЦАП с резистивной матрицей R-2nR применяется при небольшом количестве разрядов (при n<8). При больших Т затруднительным становится также изготовление резистивных матриц в интегральном исполнении. Известно, что номиналы резисторов в интегральном исполнении не должны превышать 50...100 кОм. Поэтому, в ЦАП, выполненных по интегральной технологии, в основном применяются резистивные матрицы R-2R. Функциональная схема ЦАП с матрицей R-2R показана на рис. 5.7.

Напряжение на выходе ЦАП (рис. 5.7) определяется как:

 

 

= .

 

Чтобы выполнить условие формирования выходного напряжения в соответствии с двоичным кодом входного числа, необходимо получить равенство Rос=R, тогда

 

UвыхЦАП= Uоп .

 

Дробные члены суммы играют роль весовых коэффициентов, а шаг квантования определяется отношением DUкв=Uоп/2n. На рис. 5.7 символы “0” и “1” перед электронными ключами показывают на состояние ключа при подаче на цифровые входы ЦАП логического “0” или “1”, соответственно.

Промышленностью ЦАП выпускаются в виде интегральных микросхемы и содержат в своем составе резистивную матрицу R-2R, электронные ключи и резистор обратной связи Rос. Для подключения токосуммирующего операционного усилителя имеются специальные выводы. Схема десятиразрядного ЦАП, построенного на базе ИМС К572ПА1, показана на рис. 5.8. ЦАП типа К572ПА1 может управляться кодом, полученным с выходов дискретных интегральных схем типов КМОП и ТТЛ. В последнем случае выходные уровни, соответствующие сигналам уровня логической “1”, должны быть повышены путем соединения выходов ТТЛ инверторов с источником питания 5 В через резисторы сопротивлением 2 - 10 кОм. Непосредственное согласование входных управляющих уровней ЦАП с параметрами сигналов ТТЛ- схем можно достичь путем уменьшения напряжения питания ЦАП до 5 В. Однако при

 

этом возрастает погрешность ЦАП. Основные параметры наиболее широко используемых ЦАП приведены в табл. 5.1. В табл. 5.1 использованы следующие обозначения: n- число разрядов управляющего кода; tуст - время установления выходного напряжения; Iвых - максимальный выходной ток; dлн - нелинейность преобразования ЦАП; Uп - напряжение питания; Uоп - опорное напряжение.

 

Функциональный ЦАП с линейным преобразованием управляющего кода

 

Второй способ, использующий степенную аппроксимацию, заключается в следующем. На рассматриваемом отрезке [a, b] функция f(x) заменяется многочленом

Pn(x)= .

 

Моделирование многочлена осуществляется каскадно соединенными ЦАП (рис. 5.18).

Рис. 5.18. Схема функционального цифро-аналогового преобразователя

 

В качестве ЦАП, изображенных на схеме, применяют умножающие ЦАП, которые могут работать с двухполярным опорным напряжением. Выходное напряжение таких ЦАП определяется по формуле:

 

,

где N - текущий цифровой код, который изменяется в пределах от 0 до Nmax-1; Nmax=2m, m - разрядность ЦАП; R - сопротивление матрицы резисторов; RN - сопротивление резистора в цепи обратной связи ОУ ЦАП; Uоп - опорное

напряжение. Отношение называют масштабным коэффициентом или масштабным множителем. Его можно

 

изменять в широких пределах, изменяя RN.

 

В схеме, приведенной на рис. 5.18, при подаче на цифровые входы ЦАП кода N, на выходе 1-го ЦАП формируется напряжение, равное:

 

U1=- UопA .

 

Это напряжение является входным для 2-го ЦАП, а напряжение на его выходе будет определяться соотношением:

 

U2=- U1A =Uоп(- А )2.

 

Продолжая этот ряд, для k-го ЦАП можно записать:

 

Uk = Uоп(- А )k.

 

Напряжения с выходов ЦАП через резисторы R1, R2, ..., R5 подаются на вход сумматора А2. Для обеспечения необходимого знака, напряжения с выходов первого и пятого ЦАП проходят через инвертор А1. Дополнительно на сумматор через резистор R0 подается опорное напряжение. На выходе сумматора формируется напряжение Uвых:

 

Uвых=- ( );

 

или, с учетом предыдущего уравнения:

 

Uвых=- Uоп .

 

Если обозначить , , то последнее уравнение примет вид:

 

Uвых=- Uоп(a0+a1x+a2x2+а3х3+а4х4+a5 x5)» - Uоп f(x).

 

Коэффициенты многочлена, реализуемого данной схемой, имеют следующие знаки: а0>0, а1>0, а2>0, а3<0, а4>0, а5>0. Если коэффициенты имеют другие знаки, то схема претерпевает лишь незначительные изменения. Таким образом, мы получаем выходное напряжение пропорциональное аппроксимируемой функции f(x).

Необходимо указать на ограничение, которое накладывается каскадным включением ЦАП на диапазон изменения масштабного коэффициента А. При подаче на цепочку ЦАП кода, близкого к Nmax, выходное напряжение k-го ЦАП пропорционально Uоп(- A)k. Для А>1 эта величина возрастает по геометрической прогрессии и может приводить к насыщению операционных усилителей. Поэтому выгодно устанавливать А равным 1 и аппроксимировать функцию исходя из того, что аргумент х изменяется от 0 до 1.

Из вышесказанного следует, что для воспроизведения многочлена Pn(x) степени n необходимо n каскадно включенных ЦАП. Коэффициенты многочлена реализуются подбором резисторов R, R0 ,R1, ... Rk, а знаки слагаемых устанавливаются при помощи инвертора.

 

Для того чтобы погрешность, вызванная аппроксимацией (методическая погрешность), была минимальна, необходимо соответствующим образом подобрать коэффициенты многочлена.

Рассмотрены три метода вычисления этих коэффициентов.

Наиболее распространенный метод аппроксимации функции f(x) – ее разложение в ряд Тейлора. В общем виде это разложение функции f(x) в окрестности точки х0 осуществляется по формуле:

.

 

 

Разложение функции в ряд Тейлора не является единственным. Существует возможность разложить функцию в ряд по обобщенным многочленам, например, по многочленам Лежандра, Чебышева, Якоби, Эрмита или Лагерра. Здесь мы остановимся на многочленах Чебышева, поскольку они дают наилучшее приближение.

Для нахождения коэффициентов Ck разложения по многочленам Чебышева используем следующие формулы:

 

, , k > 0.

 

Подставляя вместо степеней х их выражения через многочлены Чебышева, а затем, приводя подобные члены при многочленах одной степени, получим искомый многочлен Pn(x)= .

Оценить погрешность, даваемую разложением функции f(x) в ряд по многочленам Чебышева в общем виде, очень трудно. Но согласно общим теоремам теории аппроксимации это разложение дает наилучшее приближение из всех возможных. Необходимо также отметить, что разложение функции f(x) по многочленам Чебышева возможно только для функций, имеющих непрерывную первую производную на отрезке [-1, 1]. Это условие обеспечивает сходимость ряда к функции f(x). Для всех простейших функций это условие выполняется.

Следующий метод основан на теории интерполяции. В этом случае строят многочлен, который в n+1 заданных точках х0, х1, . . . xn, принимает значения f(x0), f(x1), . . . f(xn), а в остальных точках отрезка [a, b], принадлежащего области определения f(x), приближенно представляет функцию f(x) с той или иной степенью точности. Для нахождения коэффициентов многочлена ak составляется система уравнений:

, ( i = 0, 1, 2, . . . , n ),

которая легко решается, например, методом Крамера.

 

Пример.

Калибратор фазы с линейным преобразованием

управляющего кода в фазовый сдвиг

Широкое распространение получают калибраторы фазы, принцип действия которых заключается в суммировании двух синусоидальных напряжений, сдвинутых одно относительно другого на 90°. Диапазон регулирования фазового сдвига при этом составляет 0-90°, а его расширение до 360° осуществляется введением коммутатора опорных напряжений.

При регулировании фазового сдвига в пределах 0-90° выходное напряжение калибратора фазы формируется в соответствии с зависимостью

 

, (*)

 

где Uвх - амплитуда опорных напряжений;

k1 и k2 - весовые коэффициенты.

Амплитуда и фаза выходного напряжения связаны с весовыми коэффициентами k1 и k2 соотношениями

 

;

 

Калибраторы фазы, управляемые цифровым кодом, должны обеспечивать линейное преобразование управляющего кода в фазовый сдвиг выходного напряжения. Кроме того, в большинстве практических случаев необходимо обеспечить постоянство амплитуды выходного напряжения во всем диапазоне регулирования фазового сдвига. Для выполнения этих требований весовые коэффициенты k1 и k2 должны быть связаны с управляющим кодом нелинейными зависимостями.

В калибраторе фазы, структурная схема которого представлена на рис.5.19, выходное напряжение является суммой двух синусоидальных напряжений и , сдвинутых одно относительно другого на 90°. Они формируются из входного синусоидального напряжения цепью каскадно включенных цифроаналоговых преобразователей ЦАП1 - ЦАП7 и инвертирующими сумматорами А1 - А4.

Передаточная функция i-го ЦАП выражается линейной зависимостью

,

 

где bi - масштаб преобразования i-го ЦАП;

 

 

N и Nmax - текущее и максимальное значения управляющего кода.

Рис. 5.19. Калибратор фазы с линейным преобразованием управляющего

кода в фазовый сдвиг

 

Применяемые в калибраторе фазы ЦАП имеют малое выходное сопротивление, что допускает их каскадное включение без нарушения нормального режима работы каждого отдельно взятого ЦАП. Поэтому передаточную функцию n каскадно включенных ЦАП с достаточной степенью точности можно записать в виде

 

 

На вход первого ЦАП, являющегося входом калибратора фазы, с внешнего генератора поступает синусоидальное напряжение . Из него цепью каскадно включенных ЦАП формируются напряжения, амплитуды Un которых связаны с управляющим кодом соотношением

 

 

где

 

Напряжения с выходов ЦАП и входное напряжение используются для формирования двух синфазных напряжений и , причем напряжение формируется из входного напряжения и напряжений с выходов ЦАП с четными номерами, а выходные напряжения нечетных ЦАП используются для формирования напряжения . Полагая весовые коэффициенты суммируемых напряжений и равными единице и учитывая дополнительное инвертирование соответствующих напряжений сумматорами А1 и А3, зависимости амплитуды напряжений и от управляющего кода в соответствии с (4.5) можно представить в виде

 

Us = - Uвх(a1x- a3x3+a5x5- a7x7) = Uвхk2;

 

Uc = - Uвх(1- a2x2+a4x4- a6x6) = Uвхk1.

 

Таким образом, амплитуды напряжений и связаны с амплитудой синусоидального напряжения , поступающего на вход калибратора фазы, коэффициентами k1 и k2, которые в свою очередь имеют нелинейную зависимость от управляющего кода.

 

k1 = 1- a2x2+a4x4- a6x6;

 

k2 = a1x- a3x3+a5x5- a7x7.

 

Чтобы получить фазовый сдвиг 90° между напряжениями и , одно из них, , подается на вход фазовращателя ФВ, в результате чего на входы сумматора А5 поступают напряжения Uc и jUs. Выходное напряжение сумматора А5, являющееся выходным напряжением калибратора фазы, описывается соотношением (*).

Фаза определяется управляющим кодом, а амплитуда выходного напряжения зависит только от амплитуды входного напряжения Uвх (в рассмотренном случае Uвых=Uвх).

Разность между расчетными и заданными значениями фазы и амплитуды выходного напряжения будет тем меньше, чем точнее моделируются функциональные зависимости cosx и sinx.

Функции cosx и sinx могут быть представлены в виде суммы степенного ряда, причем тем точнее, чем больше членов степенного ряда при этом используется и чем меньше диапазон изменения аргумента x. Когда заданы число членов ряда и диапазон изменения переменной x, задача минимизации погрешности моделирования сводится к точному вычислению коэффициентов при суммирующихся членах ряда.

В табл. 5.5 приведены значения коэффициентов an, рассчитанные для трех случаев, когда высшая степень x и число ЦАП в схеме калибратора фазы соответственно равны семи, шести и пяти.

Методическая фазовая погрешность и нестабильность амплитуды выходного напряжения определяются соотношениями

 

 

.

 

Графики этих зависимостей приведены на рис. 5.20 (а, б) (где m - число ЦАП в схеме), а их максимальные значения указаны в табл. 5.5.

 

Таблица 5.5.

 

Коэффициенты an	d Uвых, %	D j, °
a1 = 1,000 a2 = 0,4999 a3 = 0,1666 a4 = 0,0416 a5 = 0,0083 a6 = 0,0013 a7 = 0,0002	0,005	0,003
a1 = 1,000 a2 = 0,4999 a3 = 0,1661 a4 = 0,0416 a5 = 0,0076 a6 = 0,0013	0,016	0,005
a1 = 1,000 a2 = 0,4967 a3 = 0,16605 a4 = 0,03705 a5 = 0,00761	0,06	0,06

 

Рис. 5.20. Зависимости погрешности фазового сдвига Dj (а) и модуля dUвых напряжения выхода (б)

 

Анализ полученных результатов показывает, что уже при использовании шести ЦАП можно построить калибратор фазы с высокими метрологическими характеристиками. Погрешность калибратора фазы в основном будет определяться погрешностью настройки ЦАП на заданный масштаб преобразования, паразитными фазовыми сдвигами в ЦАП и сумматорах на высоких частотах, точностью поддержания фазового сдвига 90°.

Функциональные цифроаналоговые преобразователи

 

Цифроаналоговые преобразователи (ЦАП) широко применяются для преобразования сигналов в информационно-измерительной технике, радиотехнике и приборостроении. Они являются мощным средством увеличения точности отсчета. Однако существующие ЦАП могут выполнять только линейное преобразование вида Uвых=N´Uоп. В то же время в различных областях техники необходимо с высокой точностью воспроизводить нелинейные функциональные зависимости. Например, такая необходимость возникает при построении цифроуправляемых фазовращателей и калибраторов фазы, так как зависимость фазового сдвига от изменения регулируемой величины всегда нелинейна. Наиболее предпочтительный способ для осуществления этой операции – использование ЦАП. Аналогичная задача встречается в радиотехнике при компандировании сигнала.

 

Для воспроизведения нелинейных функциональных зависимостей и моделирования их с помощью линейных ЦАП можно использовать кусочно-линейную аппроксимацию и аппроксимацию степенными рядами. Каждый из упомянутых видов аппроксимации предполагает свой способ аппаратной реализации. Однако оба способа для увеличения дискретности воспроизводимой функции используют стандартные многоразрядные ЦАП.

Рассмотрим первый способ, в котором применяется линейная аппроксимация воспроизводимой функциональной зависимости y= f(x) в интервале [a+i(b-a)/n, a+(i+1)(b-a)/n]. Здесь [a, b] - отрезок, который разбивается на интервалы, (b-a)/n – величина интервала аппроксимации функциональной зависимости f(x), i=0, 1, 2, ..., n-1 (i - номер интервала аппроксимации, n - число отрезков аппроксимации зависимости f(x)). Полагаем, что на отрезке аппроксимации функция неотрицательна, хотя данный способ может быть расширен и на отрицательные значения функции.

В качестве многоразрядного линейного ЦАП необходимо выбрать любой умножающий ЦАП с постоянным входным сопротивлением R0. Например, ЦАП, построенный на резисторной матрице R-2R и управляемый двоичным кодом, или делитель напряжения с шунтирующими декадами, управляемый десятичным кодом.

 

 

На рис. 5.15 приведена схема, иллюстрирующая применение линейной аппроксимации для воспроизведения функциональной зависимости f(x).

Рис. 5.15. Функциональный цифроаналоговый преобразователь

 

Значения сопротивлений R1i, R2i, R0 связаны между собой соотношениями:

 

, .

 

Напряжения в схеме рис. 5.15 будут распределяться следующим образом:

 

,

 

где U - напряжение, подводимое к нелинейному ЦАП.

С помощью линейного ЦАП выходное напряжение Uвых изменяется от величины до , приближенно воспроизводя в i-ом интервале зависимость f(x) c заданным шагом квантования. Для изменения интервала регулирования функциональной зависимости f(x) (старший разряд нелинейного ЦАП) используется ключ П (рис. 5.15).

Естественно, что при таком построении функционального ЦАП последний имеет методическую погрешность, вызванную линейной аппроксимацией функциональной зависимости f(x) в интервале [ , ]. Эта погрешность определяется выражением

,

где y1i - уравнение прямой, аппроксимирующей зависимость f(x) в интервале [ , ]. Введем обозначение , тогда уравнение прямой запишется в виде:

.

Здесь £ x £ . Методическая погрешность воспроизведения функции f(x) будет зависеть в первую очередь от ее вида и выбранного отрезка аппроксимации, а также от номера и количества участков аппроксимации.

Нелинейные ЦАП, аппроксимирующие функции sinj и cosj, широко применяются при построении калибраторов фазы и фазовращателей (синусно-косинусные потенциометрические фазовращатели), в которых для формирования напряжения выхода реализуется соотношение:

 

.

В качестве примера рассмотрим построение функционального цифроаналогового преобразователя – дискретного аналога синусно-косинусного потенциометра.

Известные синусно-косинусные потенциометры нашли применение в радиотехнике, информационно-измерительной технике. Они используют профилированную намотку провода и имеют скользящий контакт, что нетехнологично, не позволяет получить хорошие метрологические характеристики и не дает возможность применить их в микроэлектронике.

Выполнение синусно-косинусного потенциометра из набора резисторов и ключей привело бы к необходимости применения большого количества резисторов разных номиналов и ключей. Так, для дискретного потенциометра, воспроизводящего синусную зависимость сопротивления от изменения входного кода в диапазоне от 0 до 90° и дискретностью 0.1°, потребовалось бы 900 резисторов и 901 ключ.

Вполне очевидно, что подобные дискретные синусные потенциометры очень громоздки и, кроме того, при такой реализации синусного потенциометра невозможно производить поразрядное регулирование воспроизводимой функциональной зависимости.

От этих недостатков свободна схема, приведенная на рис. 5.16, построенная на базе нелинейного ЦАП — цифро-аналогового преобразователя, воспроизводящего нелинейную зависимость sinj.

Рис. 5.16. Функциональный ЦАП - дискретный аналог синусного потенциометра

С помощью сдвоенного ключа линейный многоразрядный ЦАП, подключается к резисторам R1i и R2i - и образует преобразователь, моделирующий зависимость sinj в интервале от ip/2n до (i+1)p/2n. Здесь p/2n - интервал аппроксимации функциональной зависимости sinj, i=0,1,2,...,n-1 (i-номер интервала аппроксимации, n-число отрезков аппроксимации зависимости sinj в интервале от 0 до p/2 ). В качестве многоразрядного линейного ЦАП можно использовать любой ЦАП с постоянным входным сопротивлением R0.

Значения сопротивлений R1i, R2i, R0 определяются из соотношений:

 

Напряжения в схеме рис. 5.16 будут распределяться следующим образом:

 

,

 

где U- напряжение, подводимое к дискретному аналогу синусного потенциометра – функциональному ЦАП.

С помощью линейного ЦАП выходное напряжение Uвых изменяется от величины до , приближенно воспроизводя в i-ом интервале зависимость sinj необходимым числом разрядов. Для изменения интервала регулирования функциональной зависимости sinj (старший разряд нелинейного ЦАП) используется ключ П (рис. 5.16).

Естественно, что при таком построении дискретного аналога синусного потенциометра последний имеет методическую погрешность, вызванную линейной аппроксимацией зависимости sinj в интервале [ip/2n, (i+1)p/2n]. Эта погрешность определяется выражением

 

,

где y1i - уравнение прямой , аппроксимирующей зависимость sinj в интервале [ip/2n, (i+1)p/2n]:

 

.

 

Здесь ip/2n £ j £ (i+1)p/2n.

На рис. 5.17 приведена зависимость методической погрешности воспроизведения зависимости sinj внутри интервала аппроксимации (D) для n=9. В этом случае старший разряд регулирования фазового сдвига составляет 10° . Для удобства введена новая переменная k из соотношения

j = (i+k)×p/2n. Здесь 0 £ k £ 1.

 

Рис. 5.17 Распределение методической погрешности дискретного аналога синусного потенциометра внутри интервалов аппроксимации (n=9).

 

Наибольший интерес представляет максимальная погрешность, получаемая при аппроксимации последнего интервала зависимости sinj. В табл. 5.4 приведены максимальные величины погрешности в зависимости от числа интервалов аппроксимации.

 

Таблица 5.4.

n
D, %	3,29	0,38	0,09	0,02	0,006

Так, в случае n=9, она составляет величину менее 0,4 %, что может быть приемлемо для многих практических применений.

В случае одновременного использования синусного и косинусного преобразователей, как это сделано в работе для построения фазовращателя, методическая погрешность воспроизведения фазового сдвига получается небольшой, поскольку погрешности преобразователей имеют один знак. Так, при подекадном регулировании фазового сдвига (n=9) методическая погрешность, вызванная аппроксимацией зависимостей sinj и cosj , составляет всего полминуты.

Дискретный аналог синусного потенциометра (рис. 5.16) дает возможность изменять зависимость sinj в пределах одного квадранта. Все эти же элементы используются и для регулирования зависимости sinj во всех четырех квадрантах, но в третьем и четвертом квадрантах для получения отрицательных величин используется инвертор или во входной цепи (инвертируется входное напряжение), или в выходной цепи (инвертируется выходное напряжение). Кроме того, все элементы