Понятие о напряженном состоянии в точке. Компоненты напряжений. Закон парности касательных напряжений

ВОПРОСЫ

К экзамену по сопротивлению материалов (часть 2)

для студентов гр. С-13з (заочная форма обучения)

Семестр 4

Метод сил раскрытия статической неопределимости (на примере изгиба балок).

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил»

При расчете по методу сил основными искомыми величи­нами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.

2. Выбрать основную систему.

3. Сформировать эквивалентную систему.

4. Записать систему канонических уравнений.

5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.

6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.

7. Построить суммарную единичную эпюру.

8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

9. Решить систему канонических уравнений, т.е. определить реакции лишних связей.

10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).

11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.

Пример 1.

Построить эпюру изгибающих моментов и поперечных сил для однопролетной балки, показанной на рис. а.

Решение.

Для определения опорных реакций H, R_A, R_B, M_A составим уравнения равновесия: откуда H = 0, далее

тогда

тогда

Для определения трех опорных реакций М_А, R_В, R_А имеем систему двух уравнений. Таким образом, задача является статически неопределимой. Для ее решения необходимо привлечь одно дополнительное уравнение Отбросим одну лишнюю опорную реакцию R_В = Х₁. В результате получим консольную балку, показанную на рис. б. Для этой полученной консольной балки строим эпюру изгибающих моментов М_F от внешней нагрузки.

Для определения вертикального смещения точки В построим эпюру изгибающих моментов от единичной силы, приложенной в направлении отброшенной опорной реакции R_B (рис. в). Затем, используя правило Верещагина, находим перемещение :

Для определения перемещения необходимо умножить по правилу Верещагина эпюру саму на себя:

Подставим полученные результаты в формулу :

откуда

Из полученных ранее выражений определяем остальные опорные реакции:

Положительные значения опорных реакций показывают, что выбранные нами предварительно их направления правильны (рис. а). Отрицательные значения показывают, что выбранные предварительно направления опорных реакций необходимо заменить на противоположные.

Проводим сечение I – I и отбрасываем мысленно левую часть, тогда

; тогда .

Экстремальное значение изгибающего момента в пролете будет в сечении, где поперечная сила равна нулю, т.е. на расстоянии х = 3l/8 от правой опоры:

.

Затем строим эпюру поперечных сил:

Q_A = R_A = 5ql/8; Q_B = –R_B = –3ql/8.

Понятие о напряженном состоянии в точке. Компоненты напряжений. Закон парности касательных напряжений.

Напряженным состоянием в точке тела называют совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих на всевозможных площадках, проходящих через данную точку.

В окрестности любой точки деформированного твердого тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный в пространстве таким образом, что по его граням будут возникать только нормальные напряжения.

В зависимости от того, испытывает параллелепипед «растяжение» («сжатие») в одном, в двух или в трех направлениях, различают виды напряженного состояния:

линейное (одноосное) напряженное состояние,

плоское (двухосное) напряженное состояние,

объемное (трехосное) напряженное состояние.

Полное напряжение p , как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σ_n и касательное к площадке – касательное напряжение n. Здесь n – нормаль к выделенной площадке¹.

Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие, параллельные координатным осям x, y, связанным с поперечным сечением – nx ny. В названии касательного напряжения первый индекс указывает нормаль к площадке,второй индекс — направление касательного напряжения.

p = n nx nx

закон парности касательных напряжений:

Формулировка закона парности касательных напряжений: касательные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, направленные по перпендикуляру к линии пересечения площадок, равны по величине, притом касательные напряжения либо сходятся к линии пересечения площадок, либо расходятся от нее.