Понятие коллинеарных векторов
Определение: Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Замечание:Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Þ и коллинеарные Þ и коллинеарные Векторы векторы Вывод: Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Необходимый и достаточный признак коллинеарности двух векторов. Теорема: Для того, чтобы вектор был коллинеарен ненулевому вектору , необходимо и достаточно, чтобы существовало число к , удовлетворяющее условию . Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам Теорема: Любой вектор может быть представлен и, притом, единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов и .
Дано: и неколлинеарны; - произвольный вектор плоскости. Доказать: 1. существует; 2. единственным образом. Доказательство: 1. Докажем, что разложение существует. Пусть и коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов . Значит, верно равенство . Пусть и коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов . Значит, верно равенство .
Пусть неколлинеарен векторам и ( ; ). Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторам и . Прямые, которым принадлежат векторы и , продолжим до пересечения с построенными прямыми, достраивая параллелограмм ОАМВ. ; и коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов . и коллинеарны, следовательно, по признаку коллинеарности двух векторов . ; , что и требовалось доказать. 2. Единственность разложения доказывается методом от противного. Замечание:Если , то говорят, что вектор разложен по векторам и .
Базис плоскости. Декартова система координат на плоскости. Прямоугольная декартова система координат на плоскости Определение: Базисом плоскости называется пара неколлинеарных векторов этой плоскости, взятых в определенном порядке. – базис плоскости, где . Определение: Декартовой системой координат на плоскости называется множество, состоящее из точки О и базиса плоскости. – декартова система координат на плоскости .
О – начало координат; О х – ось абсцисс; О у – ось ординат. Замечание:Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам и : . Числа х и у называются координатами вектора в данной декартовой системе координат.
Определение: Декартова система координат на плоскости называется прямоугольной, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и единичны. – прямоугольная декартова система координат на плоскости. . О – начало координат; Ох – ось абсцисс; Оу – ось ординат. Замечание: 1. Базисные векторы в прямоугольной декартовой системе координат называются ортами. 2. Любой вектор может быть единственным образом разложен по ортам : . Числа х и у являются координатами вектора в данной прямоугольной декартовой системе координат. Упражнения: 1. Доказать, что и коллинеарны. 2. В прямоугольнике АВСD проведены диагонали АС и ВD , пересекающиеся в точке О. , . Выразить через и следующие векторы: 4. Декартова система координат в пространстве 4. 1. Понятие компланарных векторов Определение: Ненулевые вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Замечание:Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными. Векторы компланарны, а векторы компланарными не являются. 4. 2. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам Теорема: Если даны три некомпланарных вектора , то любой вектор можно разложить по векторам единственным образом. Дано: - некомпланарные векторы; - произвольный вектор пространства. Доказать: 1. - существует; 2. - единственное.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (681)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |