М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из

N (1; - 5; - 3). координат конца этого вектора вычесть одноименные

Определить: координаты его начала, то есть:

.

.

.

Ответ: .

Упражнения:

1. Определить координаты: 1) ; 2) ;

3) , если К(- 2; 2; - 1), Е(0; - 5; 4).

2. Определить координаты , если А(- 1; 0; 4), В(- 2; - 3; 7), .

 

8. Действия над векторами, заданными координатами

Сложение векторов, заданных координатами

Задача:

Дано: ; ; .

Определить: .

Решение:

Так как координаты векторов известны, разложим векторы по ортам: ; .

;

- разложение по ортам, где х = х₁ + х₂; у = у₁ + у₂. .

Правило: При сложении векторов, заданных координатами, их одноименные координаты складываются.

.

.

Вычитание векторов, заданных координатами

Задача:

Дано: ; ; .

Определить: .

Решение:

Так как координаты векторов известны, разложим векторы по ортам:

; . ;

- разложение по ортам, где х = х₁ - х₂; у = у₁ - у₂. .

Правило: При вычитании векторов, заданных координатами, их одноименные координаты вычитаются.

.

.

Умножение вектора, заданного координатами, на число

Задача:

Дано: ; ; т - число.

Определить: .

Решение:

Так как координаты вектора известны, разложим его по ортам: .

- разложение по ортам, где х = т х₁; у = т у₁. .

Правило: При умножении вектора, заданного координатами, на число его координаты умножаются на это число.

.

.

Свойство координат коллинеарных векторов

Для определения свойства координат коллинеарных векторов воспользуемся признаком коллинеарности двух векторов, согласно которому для того, чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало число к , удовлетворяющее условию . Следовательно, если имеет координаты (х; у), то имеет координаты (к х; к у), так как при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Рассмотрим отношения одноименных координат коллинеарных векторов и :

.

 

Вывод: Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

 

коллинеарны .

коллинеарны .

Пример: Проверить, коллинеарны ли векторы и , если А (1; 1), В (7; 3), С (- 4; - 5), D(5; - 2 ).

Дано: Решение:

; 1) Определим координаты и по правилу: чтобы

А (1; 1); определить координаты вектора, надо из координат

В (7; 3); конца вектора вычесть одноименные координаты его

С (- 4; - 5); начала .

D (5; - 2 ). ; .

Определить: 2) Воспользуемся свойством координат коллинеарных

; векторов: координаты коллинеарных векторов

пропорциональны.

. Равенство верно.

Следовательно, векторы коллинеарны, то есть . , так как .

Ответ: .

Упражнения:

1. Определить координаты , если .

2. Определить координаты , если .

3. Разложить по ортам , если А (- 2; - 3), В (2; 4), С (5; 1).

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ P - середина В₁С₁; М - середина АА₁; К - середина СD.

. Разложить по ортам .

5. Проверить коллинеарность векторов:

а) , если А (2; 1), В (- 4; 4), С (- 1; - 1), D (7; - 5);

б) , если ;

в) , если .

 

9. Определение длины вектора. Определение расстояния между двумя точками

Задача:

Дано: ; .

Определить: - ?

Решение: