Базис пространства. Декартова система координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Определение: Базисом пространства называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

- базис пространства.

Определение:Декартовой системой координат в пространстве называется множество, состоящее из точки О и базиса пространства.

- декартова система координат в пространстве.

О – начало координат;

Ох – ось абсцисс;

Оу – ось ординат;

Оz – ось аппликат.

Замечание:Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам : . Числа х, у, z называются координатами вектора в данной декартовой системе координат.

Определение: Декартова система координат в пространстве называется прямоугольной, если базисные векторы попарно взаимно перпендикулярны и единичны.

– прямоугольная декартова система координат в пространстве.

.

О – начало координат;

Ох – ось абсцисс;

Оу – ось ординат;

Оz – ось аппликат.

Замечание:1. Базисные векторы в прямоугольной декартовой системе координат называются ортами.

2. Любой вектор может быть единственным образом разложен по ортам : . Числа х,у,z являются координатами вектора в данной прямоугольной декартовой системе координат.

Пример:

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб.

; ; .

M – середина AD;

H – середина DC;

F – середина AA₁;

N – середина A₁ B₁;

K – середина B₁ C₁;

L – середина D₁ C₁;

P – середина C₁ C.

Разложить векторы по векторам .

Решение:

Воспользуемся «правилом многоугольника» сложения нескольких векторов:

;

;

;

;

.

Упражнения:

1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Являются ли компланарными следующие векторы:

а) г)

б) д)

в) е)

 

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ за базис взяты векторы ;;;

M – середина A₁ B₁; N – середина B₁ C₁; S – середина BC; Q – середина AD;

R – середина CD ; T – середина BB₁; P – середина AB. Разложить по базису векторы .

 

5. Построение точек плоскости (пространства), заданных координатами

Пример:

Построить в точки

А(2; - 3);

В (- 1; 4);

С (- 3; - 2);

D(0; - 1).

 

 

Пример: Построить в точки

А(2; 3; 4);

В (- 1; - 3; 3);

С (0; 4; 2);

D(0; 0; 5);

Е(- 2; 0; 6).

 

 

6. Понятие радиус-вектора точки. Разложение радиус-вектора точки по ортам

Определение; Радиус-вектором точки называется вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец с данной точкой.

Вывод:

Каждой точке плоскости (пространства) соответствует свой радиус-вектор.

Координаты радиус-вектора точки совпадают с координатами самой точки.

Сумма произведений координат радиус-вектора точки М на соответствующие орты называется разложением радиус-вектора точки М по ортам.

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 1.

В точка М (х; у) имеет радиус-вектор .

Рис. 2.

В точка М (х; у; z) имеет радиус-вектор .

Упражнения:

1. Определить координаты орт в и .

2. Построить радиус-векторы точек А (2; - 1; 4); В (- 3; 2; - 5); С (0; 0; 4).

3. Разложить радиус-векторы точек А (- 1; 4; 0); В (2; - 2; 5); С (0; 3; - 2) по ортам.

4. Определить координаты радиус-векторов точек М, К, L, E, H если:

.

 

7. Определение координат вектора на плоскости и в пространстве

Задача: Определить координаты в ,

если А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂).

Дано:

;

А (х₁; у₁);

В (х₂; у₂).

Определить:

.

Решение:

Построим радиус-векторы точек А и В.

А (х₁; у₁) - разложение по ортам;

В (х₂; у₂) -разложение по ортам;

По правилу вычитания двух векторов можно представить в виде разности .

- разложение по ортам, где х = х₂ - х₁; у = у₂ - у₁.

Вывод: Разложить вектор по ортам, значит представить его в виде суммы произведений координат вектора на соответствующие орты.

. .

Правило: Чтобы определить координаты любого вектора, надо из координат конца этого вектора вычесть одноименные координаты его начала.

.

.

Пример: Определить координаты , если М (- 3; 0; 4) и N (1; - 5; - 3).

Дано: Решение:

Воспользуемся правилом определения координат вектора: