Элементы линейной алгебры

Материалы установочной сессии по дисциплинам «Математика», «Высшая математика» для студентов сокращенной формы обучения 1-го курса всех специальностей на 2012-2013 уч. г.

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Краткий теоретический курс установочной сессии с примерами решения задач.
2. Список литературы.
3. Вопросы.

1. Элементы линейной алгебры.......................................................................

1.1. Понятие матрицы. Основные определения. Линейные действия над
матрицами. Умножение матриц..................................................................

1.2. Определители второго и третьего порядков.......................................

1.3. Свойства определителей.......................................................................

1.4. Сводная таблица основных методов решения определителей..........

1.5. Элементарные преобразования матрицы.............................................

1.6. Системы линейных алгебраических уравнений..................................

Решение систем линейных алгебраических уравнений

по формулам Крамера..........................................................................

Матричная запись СЛАУ и ее решение с помощью обратной матрицы.................................................................................................

Ранг матрицы и его свойства...............................................................

Исследование систем линейных уравнений.......................................

1.7. Сводная таблица для исследования систем линейных уравнений...

Примеры решения практических задач......................................................

Элементы линейной алгебры

1.1.Понятие матрицы. Основные определения

Определение. Прямоугольная таблица из m×n действительных чисел вида

называется матрицей типа m×n. Числа а_ij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами; первый индекс i – номер строки, второй индекс j –номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Обозначают матрицы большими буквами латинского алфавита А, В, С, … и ограничивают справа и слева либо круглыми скобками , либо двойными вертикальными чертами , либо квадратными скобками .

Употребляются и более краткие обозначения матрицы: , , . Если необходимо указать только размеры матрицы А, то пишут или .

Определение. Матрица, у которой m ¹ n, называется прямоугольной.

Например, .

Определение.Матрица, у которой m = n, называется квадратной матрицей n – го порядка.

Например, матрицы (а₁), и т. д. являются квадратными матрицами соответственно первого, второго и т. д. порядков.

Определение. Матрица размера 1 ´ n называется матрицей – строкой. При записи матрицы – строки первый индекс не пишут:

.

Определение. Матрица размера m ´ 1 называется матрицей - столбцом. При записи матрицы – столбца второй индекс не пишут:

.

В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной (дополнительной) диагоналей.

Определение. Элементы а₁₁, а₂₂, …, а_пп (i = j), стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол, т. е. , образуют главную диагональ матрицы. Элементы а_1п, а_2п–1, …, а_п1, стоящие на диагонали, идущей из правого верхнего угла в левый нижний угол , образуют побочную или дополнительную диагональ.

Определение. Если в матрице элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, а по другую отличны от нуля, то матрица называется треугольной. Например,

или

Определение. Если в квадратной матрице все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной:

.

Определение 9. Если в диагональной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то она называется единичной и обозначается Е.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль–матрицей.

Единичная матрица и нуль–матрица в линейной алгебре играют ту же роль, что 0 и 1 в арифметике.

Определение. Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность и соответствующие элементы этих матриц равны, т. е. А = В, если А = (а_ij)_m×n, В = (b_ij)_m×n и a_ij = b_ij ( ; ).

Определение.Пусть А = (а_ij)_m×n. Если заменить в матрице А строки соответственно столбцами, а столбцы строками, то полученная матрица А^Т = (а_ji)_n×m называется транспонированной к данной, а процесс ее получения транспонированием. Например:

Определение.Линейными действиями над матрицами называются сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число.

Действия сложения и вычитания возможны только над матрицами одной и той же размерности.

Определение. Суммой (разностью) двух матриц А = (а_ij)_mn и В = (b_ij)_mn называется третья матрица С = (с_ij)_mn, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

С = А ± В = (а_ij ± b_ij)_mn.

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1. А + В = В + А.

2. А + 0 = А.

3. (А + В) + С = А + (В + С).

4. А + (– А) = 0.

5. (А + В)^Т = А^Т + В^Т.

Определение. Чтобы умножить матрицу на число α ¹ 0, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы А, т. е.

α∙А = (α∙а_ij)_m×n.

Произведение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1. α∙А = А∙α.

2. α∙(β∙А) = (α∙β)∙А.

3. (α + β) А = α∙А + β∙А.

4. α∙(А + В) = α∙А + α∙В.

Определение. Произведением матрицы А = (а_ij)_mn на матрицу В = (b_jk)_np называется такая матрица С = (с_ik)_mp, каждый элемент которой с_ik равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы k–того столбца матрицы В, т. е.

с_ik = a_i1∙b_1k + a_i2∙b_2k + … + a_ij∙b_jk + … + a_in∙b_nk.

Из определения следует, что матрица-произведение содержит строк столько, сколько их в матрице А, а столбцов – сколько в матрице В.

Умножение матрицы на матрицу не всегда выполнимо. Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Схематически это можно записать так .

Произведение двух матриц А и В обозначаются символом А∙В,

например:

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется: А∙В ¹ В∙А.

Действие умножения матриц обладает следующими свойствами:

1. А∙В∙С = (А∙В)∙С = А∙(В∙С).

2. (А + В)∙С = А∙С + В∙С.

3. А∙Е = Е∙А = А.

4. (А∙В)^Т = В^Т∙А^Т.

Определение. Матрицы, для которых выполняется условие А∙В = В∙А, называются перестановочными (коммутативными).