Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Исследование систем линейных уравнений



2016-01-26 812 Обсуждений (0)
Исследование систем линейных уравнений 0.00 из 5.00 0 оценок




Определение. Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов. Такая матрица обозначается .

Пусть дана система из m линейных алгебраических уравнений с п неизвестными.

Т е о р е м а 1.5.(Кронекера – Капелли). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы: .

Т е о р е м а 1.6. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных этой системы, то система имеет единственное решение.

Т е о р е м а 1.7. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных этой системы, то система имеет бесчисленное множество решений.

Для исследования однородной системы линейных уравнений пользуются следующими теоремами:

Т е о р е м а 1.8. Однородная система уравнений всегда совместна.

Т е о р е м а 1.9. Если ранг матрицы равен числу неизвестных п, то xi = 0 – единственное решение.

Т е о р е м а 1.10. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных системы п, то система имеет множество решений.

Для того, чтобы решить произвольную систему линейных уравнений, надо:

1. Найти ранг основной и расширенной матриц системы.

2. Если , то система несовместна.

3. Если , то система совместна. Тогда надо найти какой – либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить).

4. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, а остальные (nr) неизвестные называются свободными. Главные неизвестные оставить слева, а свободные неизвестные перенести в правую часть уравнений.

5. По правилу Крамера найти выражения главных неизвестных через свободные неизвестные и получить общее решение системы.

6. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получить соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом, можно найти частные решения исходной системы уравнений.

 

1.7. Сводная таблица для исследования систем линейных уравнений

Тип системы уравнений Исследование системы уравнений Решения системы уравнений
1) Однородная система с п неизвестными с п уравнениями. Например, Находим значение основного определителя ∆ системы.
Если ∆ ¹ 0, то система имеет единственное решение. х = у = z = 0, т. е. тривиальное решение.
Если ∆ = 0, то система имеет множество решений. а) найти базисный минор порядка r (приведя матрицу к ступенчатому виду). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить); б) по правилу Крамера найти выражения главных неизвестных через свободные неизвестные и получить общее решение системы; в) придавая свободным неизвестным произвольные значения, получить соответствующие значения главных неизвестных.
2) Произвольная неоднородная система уравнений. Например, Находим ранги основной и расширенной матриц. и
, то система не совместна. Нет решений.
, где п – количество неизвестных системы, то система совместна и имеет единственное решение. Решить систему можно с помощью обратной матрицы или по формулам Крамера .
, то система совместна и имеет бесчисленное множество решений. Смотри решение для однородной системы уравнений при ∆ = 0.


2016-01-26 812 Обсуждений (0)
Исследование систем линейных уравнений 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Исследование систем линейных уравнений

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (812)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.009 сек.)