Элементарные преобразования матрицы
Определение. Элементарными преобразованиями строк матрицы А называются преобразования следующих трех типов: 1) перестановка двух строк; 2) умножение элементов какой-либо строки на одно и то же число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на число, отличное от нуля; Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы. Определение. Матрица вида называется ступенчатой. Определение . Матрица В называется эквивалентной матрице А, если она получена из матрицы А путем конечного числа элементарных преобразований матрицы А. При этом пишут А ~ В. Т е о р е м а 1.1. Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице при помощи конечного числа элементарных преобразований строк. Обратная матрица. Матричные уравнения. Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется такая матрица А-1, которая при умножении как слева, так и справа на матрицу А, дает в произведении единичную матрицу Е А∙А– 1 = А– 1∙А = Е. Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной. Т е о р е м а 1.2. Для того чтобы матрица была обратимой необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Свойства обратной матрицы: 1. . 2. (A∙B)– 1 = B– 1∙A– 1. 3. . Обратная матрица вычисляется по формуле: (1.1) где Аij – алгебраические дополнения элементов аij данной матрицы, |А| – определитель матрицы А, причем |А| ¹ 0. Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х записываются следующим образом А∙Х = В (1.2) Х∙А = В (1.3) В этих уравнениях А, В, Х – матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров. Если в уравнениях (1.2) и (1.3) матрица А невырожденная, то их решения соответственно записываются следующим образом: Х = А– 1∙В. Х = В∙А– 1. 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) Определение. Системы уравнений, содержащие неизвестные только в первой степени называются линейными. Рассмотрим систему уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных , (1.4) где х1, х2, …, хп – неизвестные, а11, а12, …, апп – коэффициенты (заданные числа), b1, b2, …, bn – свободные члены (заданные числа). Если в (1.4) все свободные члены равны нулю, то система, имеющая вид , (1.5) называется однородной. Система (1.4), в которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю, называется неоднородной. Решение систем линейных алгебраических уравнений По формулам Крамера Введем следующие обозначения: , , , …, где ∆ – главный определитель системы (1.4), ∆1, ∆2, ∆3, …, ∆п – дополнительные определители, которые получаются из ∆ путем замены столбцом свободных членов элементов соответственно первого, второго, …, п – го столбцов. Тогда формулы Крамера запишутся в виде (1.6) Т е о р е м а 1. 3. (о решении неоднородной системы). Если: а) главный определитель системы (1.4) ∆ ¹ 0, то она имеет единственное решение; б) ∆ = 0 и все дополнительные определители равны нулю, то система (1.4) имеет бесчисленное множество решений. в) ∆ = 0 и хотя бы один из дополнительных определителей не равен нулю, то система (1.4) решений не имеет и называется несовместной. Т е о р е м а 1.4. (о решении однородной системы) Если: а) главный определитель однородной системы (1.5) не равен нулю, то эта система имеет единственное решение х1 = х2 = … = хп = 0 называемое тривиальным; б) определитель однородной системы равен нулю, то эта система имеет бесчисленное множество нетривиальных решений. Замечание. Теоремы 1.3, 1.4 играют очень важную роль, как в различных разделах математики, так и во многих практических приложениях.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1414)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |