Лекция 24. Формирование логической культуры

План

1. Содержание логической подготовки младших школьников Понятие логического мышления школьника

2. Формирование приемов логического мышления у младших школьников: сравнения, аналогии, анализа и синтеза, классификации, обобщения

3. Способы обоснования истинности суждений – наблюдение, эксперимент, доказательство

4. Способы решения логических задач при изучении начального курса математики

5. Взаимосвязь логического и алгоритмического мышления школьников

Содержание логической подготовки младших школьников Понятие логического мышления школьника

Изучая математику в школе необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств. Чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства. Такие знания нужны учителю начальных классов еще и потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в целом.

Изучение этого материала связано с овладением теоретико-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса математики начальной школы.

Стойлова Л.П. к элементам логики относит следующие разделы математического знания:

1. Множества и операции над ними. 2. Математические понятия. 3. Математические предложения. 4. Математическое доказательство. 5. Текстовая задача и процесс ее решения. 6. Комбинаторные задачи и их решения. 7. Алгоритмы и их свойства.

Рассмотрим линию логико-математических понятий и отно­шений.

Содержание этой линии представляют сле­дующие вопросы:

- высказывание; примеры различных верных и неверных высказываний; числовые равенства и неравенства как выска­зывания; свойства числовых равенств;

- предикаты – предложения с переменными; уравнение и неравенство как предложения с переменными;

- логические связки «и», «или», «если…, то», «верно/неверно, что»;

- слова - основа логической формы предложений: «каждый», «любой», «один из», «все», «некоторые», «все, кроме»;

- отношения «больше», «меньше», «равно»; геометрические отношения параллельности и перпендикулярности; свойства отношений.

Уравне­ние и неравенство, которые обычно относят к алгебраическим понятиям, мы связываем с логико-математической линией. Де­ло в том, что на уравнение и неравенство мы учим учеников смотреть гораздо шире, чем это принято в начальной школе, где традиционно х в уравнении или неравенстве - это лишь неиз­вестное число, которое нужно найти с помощью вычислений. Поэтому сами эти понятия у младших школьников недостаточ­но отчетливо сформированы. Так, уравнением многие дети счи­тают такие записи, как 5 + 7 ==12, х + 3, х -1 < 6.

В соответствии с логико-математическим подходом уравнение и неравенст­во предстают перед учащимися как математические примеры предложений с переменной. Подставляя вместо переменной различные ее значения (числа), дети получают высказывания, определяют, при каких значениях получившееся высказывание верное, а при каких - неверное. При этом вводятся понятия «корень уравнения» и «решение неравенства».

В математической логике высказыванием называют утверждение, о котором можно точ­но сказать, какое оно: истинное или ложное (термины «истинное», «ложное» будут вво­диться в четвертом классе; третьеклассники пользуются терминами «верное» и «неверное» высказывание и вместо термина «утверждение» употребляют слово «предложение»). Итак, вы­сказывание - это предложение, о котором мож­но сказать, верное оно или неверное. Так, выска­зывание «Москва - столица России» - верное, а высказывание «В июне 31 день» - неверное.

В учебнике приводятся примеры предложений, не являю­щихся высказываниями. О них нельзя сказать, верные они или неверные. Высказываниями не являются любые вопроситель­ные и восклицательные предложения (например: «Который час?», «С Новым годом!»), поговорки (обычно образные выра­жения, не составляющие законченного высказывания) или та­кие предложения, истинность которых в данный момент нельзя проверить (например, «Сегодня будет дождь»). Важно, чтобы дети поняли, что не каждое предложе­ние является высказыванием.

Как сказано выше, примерами высказываний являются числовые равенства и неравенства. Так, 15 + 25 = 40 - верное числовое равенство, а 28 : 4 = 8 - неверное числовое равенст­во; числовое неравенство 135 > 70 верное, а числовое неравен­ство 20 • 8 < 100 неверное.

В третьем классе учащиеся знакомятся с простейшими свойствами числовых равенств и неравенств. Равенство (не­равенство) не нарушится, если к обеим его частям прибавить или из обеих его частей вычесть одно и то же число. Обе час­ти равенства или неравенства можно умножить или разде­лить на одно и то же натуральное число. На основе этих свойств можно легко решать некоторые виды уравнений. На­пример, уравнение 186 + х =35 + 186 легко решить, вычитая из обеих его частей число 186. Получится х =35. Корень ви­ден сразу: 35.

Теперь обратимся к предложениям, содержащим пере­менную.

О предложении, содержащем переменную, нельзя сказать, верно оно или неверно, пока не подставлено вместо переменной ее значение. Поэтому предложение с переменной высказы­ванием не является. Такое предложение в ма­тематической логике часто называют высказывательной формой (в третьем классе этот термин не используется).

Рассмотрим примеры. «Город Х находится в России». Если значением Х является Тула, то данное предложение становится верным высказыванием: «Город Тула находится в России». При другом значении Х предложение «Город Х нахо­дится в России» обращается в неверное высказывание. Так, если Х -Лондон, то высказывание «Город Лондон находится в России» неверное.

Формальное определение понятия «урав­нение» учащимся не дается, но они должны хорошо понимать, что уравнение - это, во-первых, равенство (т.е. в записи уравнения обязательно должен быть знак равенства =), во-вторых, в нем должна быть переменная; следовательно, уравнение - это равенство с переменной.

Введя термин «уравнение» и ознакомив детей с его смыс­лом, полезно предложить им прочитать записи: 3 + 4, 7 - х, 9+х=15, 24:3° 8, х+4, х=3, 10 - 7 ° 3, найти среди них уравнение и доказать, что это уравнение.

Рассматривая записи, дети найдут среди них ту, которая является уравнением:

9 + х = 15. Далее надо проверить два усло­вия: 1) является ли оно равенством, 2) есть ли в нем переменная.

В зависимости от числа, которое подставляется вместо буквы, получается вер­ное или неверное равенство. Так, если в уравнение 3 + х = 9 вместо х подставить, например, 5, то получится неверное ра­венство 3+5=9. Можно подставить и другие числа. Но толь­ко при х, равном 6, получается верное равенство 3+6=9. Число 6 называют корнем этого уравнения. Термин «корень» вводится в третьем классе и входит в активный словарь учащихся.

Линия логико-математических понятий и отно­шений, представленная в курсе математики В.Н.Рудницкой, автора учебников математики в дидактической системе «Школа ХХI века», реализована успешно.

В данной дидактической системе используется прием, который можно назвать опережающей многолинейностью. Важнейшее значение придается постоянному использованию сопоставления, сравнения, противопоставления связанных между собой понятий, действий, задач, выяснению сходства в рассматриваемых фактах.

Линия логико-математического понятий и отношений проходит через все четыре года обучения, связывая воедино все разделы программы, способствуя развитию логического мышления школьников.