Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме FV, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды PV. В этом случае говорят, что сумма FV дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты – дисконтом или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем момент времени.

В более широком смысле дисконтирование – это средство приведения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени.

Величину PV, найденную с помощью дисконтирования, называют современной стоимостью, или современной величиной будущего платежа FV, а иногда текущей, или капитализированной, стоимостью.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования – математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором – учетная ставка.

1. Математическое дисконтированиепредставляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо дать в долг, чтобы получить в конце срока сумму FV, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i.

Формула математического дисконтирования по простой процентной ставке имеет вид:

.

- дисконтный множитель.

Пример: Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?

Разность D можно рассматривать не только как проценты, начисленные на PV, но и как дисконт с суммы FV.

2. Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем: банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, однако раньше указанно на нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

Формула банковского учета по простой учетной ставке имеет вид:

,

где n – срок от момента учета до даты погашения векселя.

- дисконтный множитель.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе k = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным (365/360).

Пример: Вексель выписан на сумму 100 тыс. руб. с уплатой 17 ноября 2012 г. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября 2012 г. по простой учетной ставке 20% годовых. Определить полученную при учете сумму и дисконт.

Операции начисления процентов и дисконтирования по учетной ставке могут совмещаться. Например, при учете долгового обязательства, предусматривающего начисление простых процентов, следует решить две задачи:

1. Определение наращенной стоимости (FV).

2. Расчет суммы, полученной при учете (PV).

,

где - первоначальная сумма ссуды;

- сумма, полученная при учете;

- общий срок платежного обязательства (срок начисления процентов);

- срок от момента учета до даты погашения долгового обязательства, причем .

Пример: Дополним условия предыдущего примера. Пусть на первоначальную сумму (100 тыс. руб.) теперь начисляются простые проценты по ставке 20,5 % годовых. Определить наращенную сумму долга и сумму, полученную при учете, если общий срок платежного обязательства – 120 дней.

Наращение по учетной ставке

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае

.

Множитель наращения здесь равен 1/(1-nd).