Приложение к модели Г. Марковица

A. Вывод функции полезности и формулы риска для портфеля

1. Вывод квадратной функции полезности, включающей непосредственное измерение риска[39]

Полезность любого дохода инвестиционного портфеля может быть найдена путем подстановки этого дохода в общую формулу квадратной функции полезности. В результате получим:

,

где

- общая полезность -го дохода ( ) портфеля.

Ожидаемая полезность портфеля может быть найдена из расчета средневзвешенной полезности, получаемой от каждого возможного дохода с использованием в качестве весов вероятностей этих доходов.

,

где

- ожидаемая полезность портфеля.

Выполнив умножение в последнем выражении, получим:

.

Первый член в правой части равен , так как сумма вероятностей всех возможных доходов равна 1.

Второй член в правой части представляет собой ожидаемый доход портфеля, умноженный на .

Значение третьего члена в правой части уравнения не очевидно.

Запишем каждый входящий в третий член доход в виде суммы ожидаемого дохода портфеля и разницы между ним и отдельно рассматриваемым доходом, то есть каждый может быть выражен как .

Используя такие обозначения, третий член может быть записан в виде:

.

Перемножив выражение в скобках, получим:

Первый член этого выражения после умножения становится равным .

Можно также показать, что последний член равен нулю.

Второй элемент после умножения на будет представлять дисперсию дохода портфеля.

Таким образом, последнее выражение может быть переписано:

.

Наконец, выражение ожидаемой полезности портфеля может быть представлено следующим образом:

.

Вывод формулы риска инвестиционного портфеля для ценных бумаг двух типов

Основное определение дисперсии распределения вероятностей случайной переменной ( ) имеет вид:

.

где

а) - один из возможных доходов от - й ценной бумаги:

,

где - прогноз будущей стоимости ценной бумаги в конце определенного периода плюс дивиденды;

- размер первоначальной инвестиции.

б) - математическое ожидание дохода от - й ценной бумаги

,

где - вероятность - го дохода от - й ценной бумаги

в) - дисперсия дохода от - й ценной бумаги

Поэтому дисперсия портфеля ( ) может быть записана так:

,

где

- один из возможных доходов от портфеля ценных бумаг

Если портфель состоит из двух ценных бумаг ( и ), а весами являются доли и в портфеле ( и ), тогда

.

Путем простых преобразований приходим к:

,

где

- ковариация двух случайных величин, доходов и от двух ценных бумаг и .