Центры тяжести геометрических фигур

Таблица 4

№	Вид фигуры	Рисунок	Площадь	Координата центра тяжести
	Квадрат		A=b2	yc =b/2
	Прямоугольник		A=b*h	yc =h/2
	Параллелограмм		A=b*h	yc=h/2
	Треугольник		A=b*h/2	yc =h/3
	Трапеция		A=(a+b)*h/2
	Шестигранник правильный		A=2.598R2	yc =0.866 R
	Круг		A=πR2	yc =R
	Кольцо		A=π(R2 –r2 )	yc =R
	Сегмент		Где
	Сектор
	Полукруг		A=πR2 /2

 

 

Рассмотрим решение задачи на определение центра тяжести плоской фигуры.

 

Рис. 47

На рисунке 47 изображено сечение, состоящее из геометрических фигур. Определить центр тяжести этого сечения.

Решение.

Разобьем сечение на геометрические фигуры (рис.48):

прямоугольник 1 с размерами b=105 мм, h=100 мм,

прямоугольник 2 с размерами b=30 мм, h=55 мм,

прямоугольник 3 (выемка) с размерами b=30 мм, h=55 мм,

отверстие круглое 4 диаметром 30 мм, R =15мм

отверстие полукруглое 5 радиусом R =20мм

отверстие 6 сектор с углом 90° радиусом R =25 мм.

Сечение разбитое на стандартные фигуры представлено на рисунке 48.

Принимаем оси координат, проходящие через левый нижний угол прямоугольника 1, и определяем площади фигур и координаты центра тяжести каждой фигуры.

 

Рис. 48

 

прямоугольник 1:

y_c1 = 50 мм, x_c1 = 52,5 мм, A₁ = 100*105=10500 мм²

 

прямоугольник 2:

y_c2 = 52,5 мм, x_c2 = -15 мм, A₂ = 30*55=1650 мм²

 

прямоугольник 3:

y_c3 = 52,5 мм, x_c3 = 90 мм, A₃ = 30*55=1650 мм²

 

отверстие 4:

 

y_c4 = 80 мм, x_c4 = 44 мм, A₄ = π*15²=706,5 мм²

 

отверстие 5:

 

, x_c5 = 44 мм, A₅= π*R²/2 = =π*20²/2=628 мм²

отверстие 6:

 

Длина дуги l = πR/2=3.14*25/2=39.25 мм

 

, x_c5 = 44 мм,

A₅= R*l/2=25*39.25/2=490.65 мм²

 

Выполним расчет координат центра тяжести сечения по формулам:

Найденный центр тяжести сечения изображен на рисунке 49.

Рис. 49

 

Задания для самостоятельной работы приведены на рисунках 50-54.

Числовые значения переменных в таблице 5.

Рис. 50

Рис. 51

Рис. 52

Рис. 53

Рис. 54

Таблица 5

 

Вариант	А(мм)	В(мм)	С(мм)	D(мм)	R1(мм)	R2(мм)	h1(мм)	h2(мм)	h3(мм)	Рис.

 

Рассмотрим решение задачи на определение центра тяжести плоской фигуры состоящей из стандартных профилей и геометрических фигур (Рис.55).

Рис. 55

Решение:

Разобьем сечение на части, состоящие из стандартных профилей и геометрической фигуры прямоугольника (рис.56):

Двутавр 1 - № 14,

Швеллер 2 - № 12,

Швеллер 3 - № 12,

Прямоугольник 4 с размерами b=80 мм, h=15 мм,

Принимаем оси координат, проходящие через центр тяжести двутавра 1, и определяем площади фигур и координаты центра тяжести каждой фигуры.

Двутавр 1 - № 14, y_c1 = 0 мм, x_c1 = 0 мм, A₁ = 17,4 см² = 1740 мм² (Площадь профиля выбираем в таблице приложения 1)

 

 

Швеллер 2 - № 12, y_c2 = S_дв/2+H_шв/2 = 4,9/2+120/2= 62,45 мм, x_c2= z₀ = 15,4 мм, A₂ = 13,3 см² = 1330 мм² (Площадь и размеры профилей выбираем в таблице приложения 1)

 

Швеллер 3 - № 12, y_c3 = S_дв/2+ H_шв/2 = 4,9/2+120/2 = 62,45 мм, x_c3 = -z₀ = -15,4 мм, A₃ = 13,3 см² = 1330 мм² (Площадь и размеры профилей выбираем в таблице приложения 1)

 

Прямоугольник 4 с размерами b=80 мм, h=15 мм, , y_c4 = S_дв/2+H_шв +h/2= 4,9/2+120+15/2= 129,95 мм, x_c4 = b/2 = 40 мм, A₄ = b*h=15*80=1200 мм²

 

Рис. 56

Выполним расчет координат центра тяжести сечения по формулам:

Найденный центр тяжести сечения изображен на рисунке 57.

Рис. 57

 

Задания для самостоятельной работы приведены в Таблице 6.

Таблица 6

 

Кинематика

Основные понятия кинематики. Кинематика точки

Кинематика рассматривает движение как перемещение относительно какой-либо системы отсчета. Причины, вызывающие движение, не рассматриваются. Кинематика устанавливает способы задания движения и определяет методы определения характеристик движения. Основной характеристикой в кинематике является закон движения точки или твердого тела: совокупность математических образов или уравнений, которые позволяют в любой момент времени определить местонахождение точки или тела и определить куда они движутся.

Движение точки или тела происходит вдоль линии, которая называется траекторией движения. Траектория движения может быть кривой или прямой, плоской или пространственной.

Путь –это расстояние, замеренной по траектории в направлении движения. Путь обозначается S и измеряется в метрах.

Положение точки в каждый момент времени можно определить по расстоянию, пройденному вдоль траектории от некоторой неподвижной точки, рассматриваемой как начало отсчета. Такой способ задания движения, выражаемый зависимостью пройденного пути от времени движения S= f(t) называется естественным.

Рис. 58

Если положение точки определено ее координатами в заданной системе отсчета и задана зависимость координаты от времени,

{	x = f1 (t);
y = f2 (t).

то такой способ задания движения называется координатным.

Рис. 59

Скорость движенияэто векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории. Значение скорости в любой момент времени определяется как производной от расстояния по времени.

 

 

или v=f' (t)

 

Скорость это вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения.

 

 

 

 

 

Средняя скорость на пути ΔS определяется как:

 

где ΔS – пройденный путь, Δ t – затраченное время.

За единицу скорости принимают 1 м/с. Иногда скорость измеряют в км/ч, 1км/ч = 1000м/3600 с = 0,278 м/с.

Если точка или тело за равные промежутки времени проходят равные расстояния и скорость движения не изменяется, то такое движение называется равномерным. При этом скорость движения постоянна v=const.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то движение называют неравномерным. В этом случае скорость — величина переменная и зависит от времени v=f(t).

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки.

Скорость точки при перемещении из точки М₁ в точку М₂ ме­няется по величине и направлению. Среднее значение ускорения за этот промежуток времени

За единицу ускорения принимают 1 м/с².

Быстрота изменения модуля скорости определяется касательным ускорением направленным по касательной к траектории. Его числовое значение определяется по формуле:

 

При ускорении его направление совпадает с направлением скорости, а при замедлении оно направлено противоположно направлению вектора скорости.

 

Рис. 61

 

Быстрота изменения направления скорости характеризуется нормальным (центростремительным) ускорением, которое определяется по формуле:

 

,

где R – радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно скорости к центру кривизны дуги точка О рис. 61.

Значение полного ускорения определяется как

 

Виды движения точки можно рассматривать как:

2. равномерное прямолинейное ( );

3. равномерное криволинейное( );

4. неравномерное прямолинейное ( );

5. неравномерное криволинейное ( ).

Равномерное прямолинейное движение характеризуется формулой:

 

S=S₀ +v·t;

где S₀ начальное расстояние.

Равномерное криволинейное движение характеризуется формулой:

, модуль скорость точки не изменяется, меняется направление вектора скорости.

При движении по окружности так как , где v=const и радиус кривизны траектории R=const , то

S=S₀ +v·t;

следовательно или при S₀=0, так как s = 2πR, то

 

Неравномерное прямолинейное движение характеризуется формулой:

S=S₀ +v₀·t+a_t t² /2;

где v₀ –начальная скорость, a_t – касательное ускорение, при S₀=0, v₀=0

S=a_t t² /2=v2;

Неравномерное криволинейное движение характеризуется формулой:

S=S₀ +v₀·t+a_t t² /2;