Теплопроводность твердых тел

Распространение тепла в изотропном твердом теле описывается законом Фурье (1822 г.):

(6.43)

где – поток тепла;

– нормаль к изотермической поверхности;

К – коэффициент теплопроводности.

Для анизотропных твердых тел k – тензор:

(6.44)

Перенос тепла осуществляется: 1) атомными колебаниями (диэлектрики) и 2) электронами (металлы имеют оба механизма).

Атомные колебания в нагретой части твердого тела имеют большую амплитуду, чем в холодной. Кинетическая энергия колебаний переносится как звуковые волны. В идеальном кристалле теплопроводность бесконечна, так как гармонические осцилляторы не взаимодействуют и пробег фононов бесконечен. Однако, реально пробег фононов ограничен, в частности из-за ангармонизма и взаимодействия осцилляторов (рассеяние фононов друг на друге). Дефекты кристалла также уменьшают длину пробега фононов.

По аналогии с кинетической теорией газов:

(6.45)

где t = <l_ф>< _зв> – время релаксации фонона;

t^–1 – частота столкновений фононов

а) Высокие температуры , C_v =3N_k = 3R

, т.е. <l_ф> ~ (6.46)

(6.47)

б) Низкие температуры: , C_v ~ g_D×T³

, (6.48)

(6.49)

Электроны хорошо переносят тепло. Для металлов Видеман и Франц (1853 г.) установили закон:

К_эл = LsT, или (6.50)

где L – константа Лоренца.

“Горячие” электроны переносят тепло, пробегая путь

<l_эл> = ×t (6.51)

Электрическое поле сообщает дрейфовую скорость

(6.52)

Плотность тока в металле:

(6.53)

Откуда:

(6.54)

Согласно кинетической теории газов (6.45):

(6.55)

Из (6.54) и (6.55) получим:

(6.56)

Так как

, Е_кин (6.57)

Результат (6.56) не совпадает с экспериментом, но если учесть квантовую статистику электронов. то получим закон Видемана-Франца

, (6.58)

что согласуется с экспериментальными данными.

Таким образом, в металле

К = К_реш + К_эл (6.59)

Чем жестче связь и чем меньше масса частиц, тем выше коэффициент теплопроводности.

Краткие выводы

1) Диффузия – тепловое перемешивание атомов в твердом теле. Возможна только при наличии собственных термодинамически равновесных дефектов.

2) Движущей силой направленной диффузии является градиент свободной энергии (химический потенциал).

3) Процессы диффузии описываются двумя уравнениями Фика, не имеющими общего решения.

4) Решение при диффузии из бесконечного источника описывается функцией efrс x, при диффузии из ограниченного источника – функцией .

5) Температурная зависимость коэффициента диффузии .

6) Теплопроводность осуществляется распространением тепловых колебаний атомов и электронами. При низких температурах: , при высоких температурах: .

7) Электронная составляющая теплопроводности (в металлах) описывается законом Видемана-Франца .

8) В общем случае К = К_реш + К_эл , .