Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 5.1 .Дифференциальное уравнение вида (5.1) называется линейнымнеоднородным дифференциальным уравнением первого порядка относительно переменной , а уравнение (5.1 ) называется линейнымнеоднородным дифференциальным уравнением первого порядка относительно переменной .
При уравнение (5.2) называется линейнымоднородным дифференциальным уравнением первого порядка и является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид: , (5.3) где С=const. Аналогично для уравнения Решение линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка (5.1) можно найти методом вариации производной постоянной или методом Бернулли.
Метод вариации произвольной постоянной.
Определим общее решение уравнения (5.2)-соответствующего однородного уравнения (5.1): . Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (5.1) будем искать в виде , (5.4) считая -некоторой функцией переменной . Подставляя и в (5.1),получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными , из которого найдем : ; , (5.5) где . Подставив (5.5) в (5.4) получим общее решение уравнения (5.1)
Пример 5.1Решить задачу Коши ; . Решение. - однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. ; ; - общее решение линейного однородного уравнения. Найдем общее решение линейного неоднородного уравнения в виде и подставим в неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка .Найдем :
; ; - общее решение линейного неоднородного уравнения. Найдем частное решение. , , , , , . Тогда - частное решение линейного неоднородного уравнения.
Метод Бернулли.
Общее решение линейного неоднородного уравнения первого порядка (5.1) будем искать в виде (5.6), или ( ) (5.7) Подставим (5.6) в (5.1).Получим . Так как и произвольные ненулевые функции, произведение которых дает функцию ,то выберем их так ,чтобы выражение в скобках обращалось в ноль. Тогда система будет равносильна уравнению (5.1) Решение первого уравнения с разделяющимися переменными , подставляется во второе уравнение. При этом С берется произвольным, т.к. нас интересует любая одна функция , обращающая в ноль выражение в скобках. Решение первого и второго уравнения подставляем в (5.6), которое служит решением исходного уравнения (5.1)
Пример 5.2.
Найти частное решение уравнения , .
Решение: Определим тип уравнения: -линейное неоднородное уравнение первого порядка, Решим его методом Бернулли .Общее решение будем искать в виде .
, решим первое -уравнение с разделяющимися переменными .Подставим во второе уравнение. ; общее решение уравнения . Найдем частное решение ,удовлетворяющее начальным условиям ; ; частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям
Определение 5.2Дифференциальное уравнение вида , (5.8) называется уравнением Бернулли. Оно сводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка заменой переменных
Пример 5.3. Найти частное решение уравнения Бернулли ,
Решение: Преобразуем уравнение к виду , разрешенному относительно первой производной ; ; Поделим обе части уравнения на , считая , и введем новую переменную
или -линейное уравнение относительно функции .Решим его методом Бернулли.
или ,тогда - общее решение.
Найдем частное решение:
или -частное решение уравнения ,удовлетворяющее начальным условиям .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (429)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |