Решение линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью матриц (видоизмененный метод Эйлера)
Пусть дана система п линейных дифференциальных уравнений с п неизвестными функциями, коэффициенты которой постоянные: Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения , где , , . Благодаря свойству собственных чисел и собственных векторов матриц ,где -собственные числа ,а - собственные векторы матрицы А, решение системы будем искать в виде , где -произвольные постоянные. Чтобы найти и решим характеристическое уравнение ,где
Решая данное уравнение относительно ,получим корней характеристического уравнения ,которые являются собственными числами матрицы А.Каждому собственному числу соответствует собственный вектор .Его координаты найдем из системы уравнений
;
.
Тогда решение системы запишется в виде: ; или
Общее решение системы имеет вид: ,
Оно может быть записано иначе , где - фундаментальная система решений.
Пример 13.3.Найти общее решение системы уравнений Составим характеристическое уравнение матрицы системы ; или
Его корни -собственные ( или характеристические) числа матрицы. При уравнения для определения собственного вектора имеют вид и сводятся кодному уравнению . Последнее определяет вектор При получаем уравнения или . Это уравнение определяет вектор Получаем фундаментальную систему решений: Общее решение системы имеет вид или
Пример 13.4. Найти общее решение системы уравнений Составляем характеристическое уравнение матрицы системы:
Раскрывая определитель, находим или окончательно . Это уравнение имеет корни Определяем собственные векторы матрицы А. При получаем систему уравнений
,
одно из которых — следствие двух других.
данная система имеет множество решений . Отсюда , приняв , например, получим .Тогда вектор . При имеем систему
Снова используя первые два уравнения (третье— их следствие), находим собственный вектор . При имеем систему Из последнего уравнения находим . Подставляем это значение в первое уравнение и находим . Приняв , получаем , т.е. собственный вектор Общее решение системы имеет вид ; Или ,
Задачи для самостоятельного решения.
Найти общее (частное) решение системы уравнений
13.1. 13.2.
Ответы:
13.1. 13.2.
Библиографический список 1.Кузнецов М.Л., Киселев А.и,, Макаренко Г.И. и др. Вся высшая математика. т.3.М. Эдиториал УРСС. М. 2001. 2.Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высш.шк. 1998. 3.Зарецкая М.А. Трофимова В.Ш. Шарабуряк Ю.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения, системы уравнений. Магнитогорск. ГОУВПО МГТУ. 2006. 4.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: М.Наука 1987.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (748)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |