Лабораторная работа №5. Интерполирование функции, заданной таблично, по формулам Лагранжа и Ньютона

Интерполирование функции, заданной таблично, по формулам Лагранжа и Ньютона. Оценка погрешностей интерполирования

(4часа)

Цель:сформировать у студентов умение интерполировать функции, заданные таблично, используя современные программные средства

Задания: Найти коэффициенты интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона. Построить графики интерполяционных многочленов.

В таблице 6 приведены варианты заданий.

Таблица 6 - Варианты заданий

№ Вар.	Задание
	xi	0,4	0,7	1,0	1,3
yi	1,8235	2,778	4,245	6,364

Продолжение таблицы 6.

	xi	0,5	0,8	1,1	1,4
yi	1,925	3,123	5,03	7,829
	xi	0,3	0,5	0,7	0,9
yi	1,622	2,16	2,895	3,913
	xi	0,5	0,9	1,3	1,7
yi	1,622	2,913	5,126	8,557
	xi	0,3	0,6	0,9	1,2
yi	1,421	2,116	3,231	4,896
	xi	0,3	0,7	1,1	1,5
yi	1,671	2,866		8,431
	xi	0,4	0,6	0,8
yi	1,579	2,037	2,694	3,594
	xi	0,5	0,7	0,9	1,1
yi	1,887	2,643	3,693	5,099
	xi	0,4	0,8	1,2	1,6
yi	1,497	2,962	5,687	10,092
	xi	0,5	0,8	1,1	1,4
yi	1,962	3,036	4,739	7,226

Окончание таблицы 6

	xi	0,5	0,9	1,3	1,7
yi	2,076	3,607	6,26	10,409
	xi	0,3	0,5	0,7	0,9
yi	1,185	1,557	2,096	2,831
	xi	0,5	0,9	1,3	1,7
yi	1,622	2,913	5,126	8,557
	xi	0,3	0,6	0,9	1,2
yi	1,421	2,116	3,231	4,896
	xi	0,3	0,7	1,1	1,5
yi	1,671	2,866		8,431

 

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте постановку задачи интерполяции функции.

2. Запишите формулы интерполяционного многочлена Лагранжа.

3. Запишите формулу интерполяционного многочлена Ньютона.

4. Как оценить погрешность интерполяционной формулы?

5. Дайте понятие сплайна и изложите суть сплайн-интерполяции.

Лабораторная работа №6

Метод наименьших квадратов. Построение линии регрессии. Обработка экспериментальных данных

(4часа)

Цель: Сформировать у студентов умение подбирать функции, описывающие эмпирические зависимости.

Задания: 1.Даны 25 значений функции у и некоторое начальное значение независимой переменной х. Известно, что независимая переменная х изменяется с постоянным шагом h=0,2. Требуется подобрать аналитическую зависимость, описывающую опытные данные наилучшим образом. Варианты индивидуальных заданий приведены в таблицах 7.1 и 7.2.

2. Решить задачу прикладного характера, используя метод наимень­ших квадратов.

Таблица 7.1 - Варианты индивидуальных заданий (№1 -8)

№ варианта
х	1,1	0,4	1,4	0,7	1,3	2,5	1,5	2,1
	-4,885	-0,751	-4,702	-8,431	-7,342	-6,942	-8,321	-2,215
	-3,284	-0,599	-3,531	-7,242	-5,002	-6,202	-6,451	-2,103
	-2,037	-0,371	-2,944	-6,542	-4,203	-5,403	-4,335	-1,435
	-1,723	-0,204	-1,832	-5,321	-3,109	-2,009	-2,944	-0,348
	-0,952	-0,24	-0,771	-4,284	-1,002	-1,507	-1,431	0,102
	0,093	0,073	-0,351	-3,102	-0,932	-0,308	-0,592	0,308
	0,287	0,134	-0,009	-2,952	0,051	-0,741	0,748	1,205
	0,694	0,26	0,241	-1,008	0,632	-1,581	1,244	2,505
	1,239	0,267	0,549	-0,941	0,944	-0,005	3,144	3,009
	1,592	0,447	0,708	0,009	1,532	1,604	4,232	4,204

Окончание таблицы 7.1

	1,708	0,809	1,453	0,974	2,271	3,242	5,808	5,051
	1,77	0,835	2,561	1,989	3,025	5,252	6,209	5,321
	1,784	0,905	3,271	2,323	3,942	7,485	6,432	4,939
	1,748	0,906	3,782	3,054	4,621	7,483	5,904	3,922
	1,652	0,768	2,543	3,204	4,232	6,532	4,401	2,343
	1,456	0,809	1,441	2,902	4,029	5,342	3,105	2,004
	0,876	0,753	0,008	2,382	3,602	2,248	1,422	1,934
	0,568	0,714	-0,902	1,525	1,937	3,002	0,303	0,672
	-0,039	0,632	-0,994	0,908	0,567	1,947	-0,561	-0,943
	-0,374	0,532	-2,008	0,001	-0,003	-0,211	-0,944	-0,947
	-0,726	-0,974	-3,631	-0,941	-0,302	0,348	-1,438	-1,063
	-1,48	-1,374	-4,748	-1,342	-1,942	-0,698	-3,943	-2,005
	-2,301	-1,994	-5,548	-2,546	-2,432	-2,451	-4,563	-2,544
	-3,195	-2,396	-5,901	-3,744	-4,323	-4,691	-5,442	-2,963
	-3,673	-2,934	-6,402	-4,892	-4,598	-6,308	-6,728	-3,002

 

Таблица 7.2 - Варианты индивидуальных заданий (№9 -15)

№ варианта
х	3,1	2,7	0,5	1,8	2,4	3,7	2,9
	-1,602	-4,967	-10,32	-2,123	-1,602	-3,851	-7,561
	-1,061	-3,543	-8,451	-1,465	-1,064	-2,801	-5,543
	-0,973	-2,821	-6,665	-1,117	-0,878	-2,144	-3,339
	-0,521	-1,944	-5,332	-0,853	-0,623	-1,439	-2,701
	-0,102	-1,202	-2,721	-0,094	-0,203	-0,594	-1,909
	-0,009	-0,938	-1,319	0,324	0,093	-0,007	-1,011
	0,371	-0,752	-0,944	0,792	0,374	0,651	-0,004
	0,911	-0,632	-0,446	1,105	0,812	1,562	0,053
	1,134	-0,054	0,003	1,794	1,235	2,535	0,948
	1,312	0,484	0,059	2,003	1,412	3,245	1,991
	1,549	0,932	0,135	2,951	1,441	3,159	2,953
	1,672	1,567	0,534	4,102	1,461	3,899	3,793
	2,003	2,344	0,844	4,509	1,492	3,631	4,004
	2,201	2,341	1,002	4,903	1,476	3,242	5,031
	2,004	1,452	1,115	5,013	1,352	3,240	5,009

Окончание таблицы 7.2.

	1,945	0,962	1,009	4,609	1,094	3,246	4,031
	1,021	0,602	0,896	3,209	0,712	2,183	3,011
	0,098	0,323	0,655	2,901	0,230	1,701	0,091
	-0,032	-0,481	0,121	1,954	-0,396	0,594	-0,543
	-0,453	-0,425	0,005	0,951	-0,325	-0,044	-0,944
	-0,962	-1,822	-0,335	-0,66	-0,624	-1,434	-2,204
	-1,452	-2,454	-1,965	-0,103	-0,936	-2,999	-2,951
	-2,342	-3,035	-2,766	-2,101	-1,260	-3,953	-6,945
	-2,546	-3,652	-4,531	-3,025	-1,597	-4,005	-6,949
	-2,743	-4,253	-4,975	-3,135	-1,947	-4,973	-7,654

 

Задачи

Задача 1.Определить плотность 5% раствора азотной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (% HNO3)	3,073	3,982	4,883	6,661	5,754
r (г/см3)	1,015	1,020	1,025	1,035	1,030

Задача 2.Определить плотность 16 % раствора азотной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (% HNO3)	9,259	10,97	14,31	17,58	20,79
r (г/см3)	1,050	1,060	1,080	1,10	1,120

Задача 3.Определить плотность 42% раствора азотной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (% HNO3)	39,8	40,58	42,14	44,48	47,63
r (г/см3)	1,245	1,250	1,260	1,275	1,295

Задача 4.Определить плотность 63% раствора азотной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (% HNO3)	60,67	61,69	65,84	68,1	70,39
r (г/см3)	1,370	1,375	1,395	1,405	1,415

Задача 5.Определить плотность 18,5% раствора серной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (%H2SO4)	17,43	18,09	20,08	21,38	22,67
r (г/см3)	1,120	1,125	1,140	1,150	1,160

 

Задача 6.Определить плотность 27% раствора серной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (%H2SO4)	25,84	27,72	28,33	30,18	34,42
r (г/см3)	1,185	1,200	1,205	1,22	1,255

Задача 7.Определить плотность 49% раствора серной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (%H2SO4)	47,39	48,45	51,52	59,24	54,97
r (г/см3)	1,370	1,380	1,410	1,390	1,445

 

Задача 8.Определить плотность 67,5% раствора серной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (%H2SO4)	61,54	63,36	66,03	68,23	70,39
r (г/см3)	1,515	1,535	1,565	1,590	1,615

 

Задача 9.Определить плотность 84% раствора серной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (%H2SO4)	79,37	80,7	85,16	83,06	89,23
r (г/см3)	1,720	1,735	1,780	1,760	1,810

 

Задача 10.Определить плотность 96% раствора серной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (%H2SO4)	84,08	85,74	92,51	95,72	94,32
r (г/см3)	1,770	1,785	1,826	1,835	1,832

Задача 11.Определить плотность 18,5% раствора серной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (%H2SO4)	17,43	18,09	20,08	21,38	22,67
r (г/см3)	1,120	1,125	1,140	1,150	1,160

Задача 12.Определить плотность 16 % раствора азотной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (% HNO3)	9,259	10,97	14,31	17,58	20,79
r (г/см3)	1,050	1,060	1,080	1,10	1,120

 

Задача 13.Определить плотность 5% раствора азотной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (% HNO3)	3,073	3,982	4,883	6,661	5,754
r (г/см3)	1,015	1,020	1,025	1,035	1,030

Задача 14.Определить плотность 84% раствора серной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (%H2SO4)	79,37	80,7	85,16	83,06	89,23
r (г/см3)	1,720	1,735	1,780	1,760	1,810

Задача 15.Определить плотность 63% раствора азотной кислоты при температуре 20°С по следующим данным:

x (% HNO3)	60,67	61,69	65,84	68,1	70,39
r (г/см3)	1,370	1,375	1,395	1,405	1,415

 

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Подобрать эмпирическую зависимость вида .

2. Подобрать эмпирическую зависимость вида .

3. Построить диаграмму рассеивания и графики полученных зависимостей на одном поле.

4. Выбрать лучшую из найденных зависимостей.

5. Подобрать в автоматическом режиме еще любые три зависимости, включая логарифмическую, и выбрать из низ наилучшую.

6. Проанализировать полученные результаты.

Контрольные вопросы.

1. Для чего служит метод наименьших квадратов?

2. На основании чего осуществляется выбор вида аналитической зависимости?

3. Почему метод нахождения коэффициентов аналитической зависимости называется методом наименьших квадратов?

4. Как составить систему нормальных уравнений для нахождения коэффициентов аналитической зависимости?

5. Как можно проверить правильность полученной в результате расчетов формулы?

6. Для чего служит линия тренда?

7. Что характеризует показатель достоверности аппроксимации R²?