Нахождение среднего относительного числа заявок на примере УП «Проектный институт Гродногипрозем»

В предприятие поступило за год заявок от физических лиц за 2015 год. В рассматриваемой модели за единицу времени возьмем одну неделю. Функционирование предприятия УП «Проектный институт Гродногипрозем» описывается следующими параметрами:

Исследуя работу предприятия за год, интенсивность поступления заявок каждого из типов с учетом времени года описывается функцией вида (1.9):

На интервале рассматривается работа предприятия за осенний период. За интервал времени берем работу предприятия за зимний период. На интервале рассматривается работа предприятия за весенний период, а под интервалом рассмотрим работу за летний период. Найдем среднее относительное число заявок в области . Для решения системы (1.10) найдем линию обслуживания где количество сотрудников в производственном отделе №2.

Решение системы (1.10) на интервале примет вид на рис. 1.3-1.9:

Рис. 1.3. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени

Рис. 1.4. Среднее число заявок первого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.5. Среднее число заявок второго типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.6. Среднее число заявок третьего типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.7. Среднее число заявок четвертого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.8. Среднее число заявок пятого типа, находящихся на интервале времени

Рис. 1.9. Среднее число заявок , находящихся на интервале времени

Аналогично решается (1.10) для остальных интервалов времени только заменяется на соответствующее значение для интервалов . Графики среднего относительного числа заявок на остальных интервалах времени представлены в Приложении 2.

ГЛАВА 2. НАХОЖДЕНИЕ ОЖИДАЕМОГО ДОХОДА ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗАМКНУТОЙ СЕТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА ДОХОДЫ ОТ ПЕРЕХОДОВ ЗАЯВОК МЕЖДУ СИСТЕМАМИ СЕТИ ЯВЛЯЮТСЯ СВ С ЗАДАННЫМИ МОМЕНТАМИ ПЕРВЫХ ДВУХ ПОРЯДКОВ

2.1. Нахождение ожидаемых доходов в центральной системе

Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания с разнотипными заявками, которая является вероятностной моделью обслуживания заявок в УП «Проектный институт Гродногипрозем», рис.1.1.

Допустим, что заявка типа требующей обслуживания, . Системами в данной сети будут отделы предприятия, которые занимаются приемом и обслуживанием заявок граждан Гродненской области. Число линий обслуживания , в системах соответствуют сотрудникам, которые выполняют заявку.

Состояние сети описывается вектором где число заявок находящихся в момент времени в системе .

Заявка при переходе из одной СМО в другую приносит последней системе некоторый случайный доход и соответственно доход первой системы уменьшается на эту случайную величину.

Рассмотрим динамику изменения доходов некоторой системы сети. Обозначим через ее доход в момент времени .

Пусть в начальный момент времени доход системы равен . Доход этой СМО в момент времени можно представить в виде , где -изменение дохода системы на интервале времени . Для нахождения этой величины выпишем условные вероятности событий, которые могут произойти за время , и изменения доходов системы , связанные с этими событиями.

1. С вероятностью заявка из системы перейдет во внешнюю среду, при этом доход системы уменьшится на величину , где - СВ с МО , - функция Хевисайда.

2. С вероятностью заявка перейдет из в систему , при этом доход системы возрастет на величину , а доход системы уменьшается на эту величину, где - СВ с МО , - вероятность перехода заявки из системы в систему .

3. С вероятностью заявка из системы перейдет в систему , при этом доход СМО уменьшится на величину , а доход системы возрастет на эту величину, где - СВ с МО .

4. С вероятностью

на отрезе времени изменение состояния системы не произойдет. [4]

Кроме того, за каждый промежуток времени система увеличивает свой доход на величину , где СВ с МО . Будем также считать, что СВ независимы по отношению к СВ . Очевидно, что . Тогда вышеуказанное примет вид:

(2.1)

При фиксированной реализации процесса , учитывая (2.1), можно записать:

Усредняя по с учетом условий нормировки для изменения ожидаемого дохода системы получаем

Пусть система содержит идентичных линий обслуживания, в каждой из которых время обслуживания заявок распределено по показательному закону с параметром В этом случае

В качестве аппроксимации среднего значения выражения возьмем , т.е. воспользуемся приближенным равенством

,

где - среднее число заявок (ожидающих и обслуживающихся) в системе в момент времени . С учетом этого равенства поучаем следующее приближенное соотношение:

(2.2)

Введем обозначение . Из (2.1) и (2.2) получаем

Далее, переход к пределу при получим неоднородные линейные ОДУ первого порядка:

(2.3)

Интегрируя данные ОДУ (2.3) при начальных условиях можно найти ожидаемые доходы систем сети по формуле[4]:

(2.4)