Краткие теоретические сведения. Статически неопределимыми называют такие системы, для определения внутренних усилий

Статически неопределимыми называют такие системы, для определения внутренних усилий в которых недостаточно одних уравнений равновесия статики. Другими словами, статически неопределимыми являются такие системы, в которых число неизвестных реакций связей превышает возможное для них число уравнений равновесия статики. Число “лишних” неизвестных определяет степень их статической неопределимости.

Для расчета таких систем, кроме уравнений статики, необходимо составлять дополнительные уравнения, называемые уравнениями перемещений (или уравнениями совместимости деформаций системы). Их получают из рассмотрения условий деформации системы. Всегда можно составить столько дополнительных уравнений, чтобы полное число уравнений вместе с условиями статики равнялась числу неизвестных.

В инженерной практике известны несколько методов расчетов статически неопределимых систем: способ сравнения деформаций, уравнение трех моментов, метод сил, метод перемещений и др.

Во всех этих методах используется один и тот же принцип: рассматриваемая статически неопределимая система отбрасыванием “лишних” связей превращается в статически определимую. Полученную таким образом статически определимую систему называют основной системой, которую и рассматривают в дальнейших расчетах. Однако основная система имеет силовое и деформационное отличия от заданной статически неопределимой системы, которые необходимо устранить.

Силовое отличие устраняется путем приложения неизвестных реакций вместо отброшенных “лишних” связей. Такую систему называют эквивалентной. Деформационное отличие устраняется составлением канонических уравнений, исключающих перемещение системы по направлению отброшенной связи.

Рассмотрим решение методом сил однопролетной один раз статически неопределимой балки, показанной на рисунке 6.1.

Рис. 6.1. Схема однопролетной статически неопределимой балки

Требуется, например, для данной схемы определить реактивный момент, возникающий в заделке .

Выберем основную систему, соответствующую условиям эксперимента.

В данной задаче необходимо определить реактивный момент, поэтому оптимальным выглядит замена жесткой заделки на шарнирно-неподвижную опору, при которой система становится статически определимой.

Для устранения силового отличия заданной и основной систем (жесткая заделка препятствует повороту сечения балки, а шарнирная опора нет) в шарнире основной системы прикладывается дополнительный неизвестный момент .

Эквивалентная система для решения данной задачи представлена на рисунке 6.2.

Рис. 6.2. Эквивалентная система

Каноническое уравнение метода сил в этом случае имеет вид

,

где - перемещение точки приложения “лишнего” неизвестного по его направлению, вызванное действием единичного значения этого неизвестного. В рассматриваемой задаче это будет угол поворота сечения балки на опоре по направлению момента в случае, когда ;

- перемещение точки приложения “лишнего” неизвестного по его направлению, вызванное действием заданной внешней нагрузки. В рассматриваемой задаче это будет угол поворота сечения балки на опоре по направлению момента от действия силы .

Данное уравнение решим способом Верещагина, для чего построим эпюры изгибающих моментов от и внешней нагрузки (силы ). Полученные эпюры представлены на рисунке 6.3.

Рис. 6.3. Грузовая и единичная эпюры моментов.

По Верещагину перемещение балки может быть вычислено по формуле

,

где - площадь “первой” эпюры;

- ордината “второй” эпюры, взятая под центром тяжести “первой” эпюры;

- жесткость балки при изгибе.

Тогда для рассматриваемой схемы получим:

; ;

; ; .

;

.

После подстановки полученных результатов в каноническое уравнение будем иметь

.

Тогда неизвестный момент равен .

Знак “+” говорит о том, что направление реактивного момента совпадает с направлением единичного момента .