Кривые второго порядка на плоскости

К кривым второго порядка относятся парабола, гипербола, эллипс(частный случай эллипса – окружность).Любая кривая второго по­рядка в общем виде описывается уравнением второй степени с двумя переменными:

(1)

Коэффициенты , и не равны нулю одновременно.

Парабола

Параболойназывается множество всех точек, расстояния которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, равны.

Каноническими уравнениями параболы являются:

1) , где - параметр параболы, расстояние от фокуса до директрисы, для кри­вой с горизонтально расположенной осью; 2) - для параболы с вертикально расположенной осью.

Пример 1. Рассмотрим параболу . Для неё , т.е. ; осью параболы является ось (в уравнении параболы переменная в первой степени); ветви параболы направлены вправо (так как ).

Для построения кривой второго порядка в Excel в уравнении кривой выражают через : , откуда следует, что . Это определяет диапазон изменения аргумента , т.е. можно взять , например от 0 до 6.

Пример 2. Рассмотрим параболу . Имеем , т.е. ; осью параболы является ось (в уравнении параболы переменная в первой степени); ветви параболы направлены вниз (так как ).

Выражаем через : , откуда ясно, что - любое число. Поэтому в данном случае диапазон изменения берём симметрично относительно начала координат, например, от -5 до +5.

Гипербола

Гиперболой называется мно­жество точек плоскости, разность расстояний от которых до двух данных точек и , на­зываемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фо­кусами. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

, ,

или , , .

Здесь - расстояние от начала координат до фокусов, а - расстояние от начала координат до вершин гиперболы.

В простейшем случае уравнение гиперболы имеет вид

.

Пример 3. Рассмотрим гиперболу .

1. Заметим, что в уравнении гиперболы перед подразумевается знак «+», а перед стоит знак «-», это означает, что ось является мнимой осью (гипербола не пересекает мнимую ось), а ось является действительной осью гиперболы (гипербола пересекает действительную ось в двух точках , - вершинах гиперболы). Полуоси гиперболы находим следующим образом: , откуда, так как имеем, что ; , откуда, так как имеем .

2. Выразим через в уравнении гиперболы: , , , .

3. На основании этого определим диапазон изменения , т.е. найдём область определения полученной функции: , , . Это означает, что правую ветвь гиперболы надо строить в диапазоне (т.е. брать от 5 до, например, 8), а левую - (т.е. брать от -8 до -5).

Пример 4. Рассмотрим гиперболу .

1. Заметим, что в уравнении гиперболы перед подразумевается знак «+», а перед стоит знак «-», это означает, что ось является мнимой осью (гипербола не пересекает мнимую ось), а ось является действительной осью гиперболы (данная гипербола пересекает действительную ось в двух точках , - вершинах гиперболы).

Полуоси гиперболы: , откуда ,, откуда , , откуда .

2. Выразим через в уравнении гиперболы: , , , .

3. Определим диапазон изменения , т.е. найдём область определения полученной функции. В данном случае . Поэтому при построении данной гиперболы можно взять в диапазоне, например, от -5 до 5.

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний ко­торых до двух данных точек (эта сумма обозначается ), называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами. Каноническое уравнение эллипса имеет вид: (здесь ).

Так как , то , т.е. эксцентриситет эллипса находится в пределах .

Пример 5. Рассмотрим эллипс .

1. Так как , , то его полуоси равны , . Это означает, что все точки эллипса имеют абсциссы в диапазоне , а ординаты в диапазоне .

2. Выразим через в уравнении эллипса: , , , , откуда .

3. Находим область определения полученной функции: , , , , что было получено выше.

Окружность

Окружность является частным случаем эллипса, а именно это эллипс с равными полуосями.

Окружностьюназывается множество точек плоскости, находящихся на одинако­вом расстоянии от данной точки, называемой центром.

Каноническое уравнение окружности имеет вид: - уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R, - уравнение окружности радиуса с центром .

Для построения кривых второго порядка в MS Excel их уравнения должны быть предварительно приведены к виду (т.е. разрешены относительно переменной у).

Пример 6.Построение параболы вида в диа­пазоне с шагом .

1. Ввод данных. На Листе1 составьте таблицу данных (х и у), как показано на рисунке 1.

2. Построение диаграммы (графика). Вызвать Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указать тип диаграммы: Точечная, вид - вторая диаграмма во втором ряду. Перейти ко второму шагу Мастера диаграмм, нажав кнопку Далее. В рабочем поле Диапазон данныхустановить курсор и левой кнопкой мыши выделить диапазон В2:В14 на Листе1 Excel. После чего в поле Диапазон данных появится: =Лист1!$В$2:$В$14. Переключа­тель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах.Затем перейти на вкладкуРяд.В полеЗначения хустановить курсор и левой кнопкой мыши выделить диапазонА2:А14.Нажав кнопку Далее перейти к шагу 3. Здесь на вкладке Заголовки вводятся название диаграммы и осей. Остальные вкладки можно не трогать. Следующий шаг Мастера диаграмм выполните самостоятельно, чтобы получилось так, как показано на рисунке 2. Дважды нажав кнопкой мыши на полученном графике можно изменить толщину линий, их цвет и другие параметры (изучите самостоятельно).

Пример 7.Построение параболы вида в диа­пазоне с шагом .

Для этого необходимо в уравнении параболы выразить через : . Поэтому искомый график будет состоять из двух кусков: первый лежит выше оси (значения ), второй – ниже оси (значения ).

1. Ввод данных. На Листе2 составьте таблицу данных (х и у), как показано на рисунке 1. При этом в ячейку В2 заносим формулу «=КОРЕНЬ(А2)», а в ячейку С2 – формулу «=- КОРЕНЬ(А2)» или «= - В2».

2. Построение диаграммы (графика). Вызвать Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указать тип диаграммы: Точечная, вид - вторая диаграмма во втором ряду. Перейти ко второму шагу Мастера диаграмм, нажав кнопку Далее. В рабочем поле Диапазон данныхустановить курсор и левой кнопкой мыши выделить диапазон В2:В26 на Листе2 Excel. После чего в поле Диапазон данных появится: =Лист2!$В$2:$В$26. Переключа­тель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах.Затем перейти на вкладкуРяд.В полеЗначения хустановить курсор и левой кнопкой мыши выделить диапазонА2:А26. Слева в полеРяднажать кнопкуДобавить. Справа установить курсор в полеЗначения Х:и левой кнопкой мыши выделить диапазонА2:А26.В полеЗначения Y:установить курсор и выделить левой кнопкой мыши диапазонС2:С26.Нажав кнопку Далее перейти к шагу 3. Здесь на вкладке Заголовки вводятся название диаграммы и осей. Остальные вкладки можно не трогать. Закончите выполнение шагов Мастера диаграмм. Дважды нажав кнопкой мыши на каждом из полученных кусков графика, сделайте одинаковым цвет и толщину линий.

Пример 8. Построение гиперболы в диапазоне с шагом .

. 1. Ввод данных. На Листе3 составьте таблицу данных (х и у), как показано на рисунке 4.

2. Построение диаграммы (графика). Вызвать Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указать тип диаграммы: Точечная, вид – второй во втором ряду. В рабочем поле Диапазон указать диапазон: =Лист3!$А$2:$А$21. Переключа­тель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах.И затем нажать кнопку Далее в ди­алоговом окне. Последующие шаги Мастера диаграмм выполните самостоятельно, чтобы получилось так, как показано на рисунке 4.

Задание.Внимательно изучив содержимое рисунка 5, выполните построение гиперболы в указанных там диапазонах.

Пример 9. Построение гиперболы(см. пример 3).

Выполните построение гиперболы, используя данные рисунка 6. Отметим, что в данном случае получается 4 ряда данных.

Пример 5.Построение гиперболы (см. пример 4).

Выполните построение гиперболы, используя данные рисунка 7. Отметим, что в данном случае получается 2 ряда данных, которым соответствует верхняя и нижняя ветви гиперболы.

Пример 6.Построение верхней полуокружности .

1. Выразим через в уравнении окружности: , . Верхней полуокружности отвечают положительные значения , т.е. берём .

2. Определим диапазон изменения , т.е. найдём область определения полученной функции: , , , .

3. Выполните построение верхней полуокружности, используя данные рисунка 8.

Задание. Постройте окружность из примера 6.

Задания для самостоятельной работы

 

1. Постройте гиперболы (рассчитайте диапазон, шаг выберите самостоятельно):

1. , ,

2. , ,

3. , ,

4. , ,

5. , ,

6. , ,

7. , ,

8. , ,

9. , ,

10. , ,

11. , ,

12. , ,

13. , ,

 

2. Постройте эллипсы (рассчитайте диапазон, шаг выберите самостоятельно):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

 

3. Постройте параболы (рассчитайте диапазон, шаг выберите самостоятельно):

1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. ,

8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. ,