ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
Ряд Тейлора. Теорема 10. Если функция f(z) аналитична в круге , то она в этом круге может быть представлена рядом Тейлора: , где - коэффициент ряда разложения. , где n=0, 1, 2… В любой замкнутой области, принадлежащей этому открытому кругу, ряд Тейлора сходится равномерно. Точка а – центр разложения, R – радиус сходимости. 2. Ряд Лорана. Будем предполагать, что функция f(z) аналитична в кольце К: . Рис. 1 Теорема 11. Если функция f(z) аналитична в кольце К, то она в этом кольце может быть представлена рядом Лорана: , где - любой замкнутый контур, лежащий целиком в кольце К и охватывающий точку а, которая является центром разложения. Ряд Лорана можно получить, расширяя ряд Тейлора в область отрицательных значений n, n <0.
Сумма членов ряда Лорана, содержащих отрицательные степени называются главной частью ряда Лорана. Сумма членов ряда Лорана, содержащих положительные степени называется правильной частью ряда Лорана. Ряд Лорана (а) сходится в области, в которой сходятся ряды (б) и (в). Пусть ряд Тейлора сходится в круге , ряд (б) сходится вне круга , тогда если r>R, то ряд Лорана расходится, если r<R, то сходится в кольце К. Пример. Рассмотрим разложение функции f(z). . Выберем в качестве центра разложения точку z=0. 1) Функция f(z) аналитична в круге . В соответствии с теоремой 10 она может быть представлена рядом Тейлора: . Рис. 2 2) Функция f(z) аналитична в кольце . По теореме 11 она может быть представлена рядом Лорана: , 3) Функция f(z) аналитична в кольце . По теореме 11 она может быть представлена рядом Лорана: , ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ВИД РЯДА ЛОРАНА. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если найдется окрестность точки а, в которой функция f(z) аналитична и аналитичность нарушается при переходе к самой точке. Более точное определение: Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если найдется кольцо К, вида , в котором функция f(z) аналитична и аналитичность не имеет места в самой точке. Различают три типа изолированных особых точек: 1. изолированная особая точка а называется устранимой, если существует . Пример. z=0 – устранимая изолированная особая точка функции , т. к. Название устранимая особая точка оправдывается тем, что особенность функции в этой точке можно устранить, если положить 2. изолированная особая точка а называется полюсом, если функция f(z) неограниченно возрастает при . Пример. z=3 – полюс точка функции . Каждый полюс а функции f(z) является нулем а функции . Порядком полюса а функции f(z) называют порядок нуля а функции Говорят, что точка а является нулем функции порядка m, если . Пример. z=3 – полюс третьего порядка функции . 3. изолированная особая точка а называется существенно особой, если не существует . Пример. z=0 - существенно особая точка функции
рис. 1 По определению изолированной особой точки существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана:
Сумма членов ряда Лорана, содержащих отрицательные степени называются главной частью ряда Лорана. Сумма членов ряда Лорана, содержащих положительные степени называется правильной частью ряда Лорана. Могут иметь место три случая: 1) ряд Лорана содержит только правильную часть Тогда , т. е. точка а –устранимая особая точка. 2) ряд Лорана содержит конечную главную часть
Представим:
Можно видеть, что Точка а – является полюсом функции f(z). В ТФКП, доказывается, что порядок полюса совпадает с числом членов в главной части ряда Лорана. 3) ряд Лорана содержит бесконечную главную часть В ТФКП, доказывается, что точка а– является существенно особой точкой функции f(z). Пусть точка а –изолированная особая точка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана по степеням . В этом разложении особую роль играет коэффициент ,(коэффициент при сомножителе ), который называется вычетом функции f(z) в точке z=a и обозначается Res ЛЕКЦИЯ 8 План лекции 1. Теорема о вычетах. 2. Основные формулы вычета в полюсе. 3. Примеры на применение теоремы о вычетах. ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ. Пусть точка а –изолированная особая точка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана: (1) Обозначим замкнутый контур целиком лежащий в кольце К и охватывает точку а. Вычислим интеграл:
Рассмотрим интеграл . Выделим три случая: 1) , (по теореме 7) 2) , Res . 3) , (по формуле Коши для высших производных) Пояснение: формула Коши для высших производных
Заменим в формуле Коши на z, z на а
Получили равенство: Res (2) Теорема 12.(теорема о вычетах) Если функция f(z) аналитична в односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек и непрерывна на границе c одласти D, то Res Доказательство: Выделим особые точки из области D с помощью замкнутых контуров . Контура выбираются таким образом, чтобы они не пересекались друг с другом и контуром с. Рис. 1 Получим (n+1) связанную область, ограниченную с и (к=1, 2,…n), в которых функция f(z) аналитична. По теореме 9: (3). В соответствии с равенством (2): Res (4) Подставляя (4) в (3), получим: Res . ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧЕТОВ В ПОЛЮСЕ. 1. Найдем вычет Res , полагая, что функция f(z) аналитична в точке а. Обозначим через с замкнутый контур, целиком лежащий в области аналитичности функции f(z) и охватывающий точку а. По теореме о вычетах: Res По формуле Коши: Из сравнения полученных результатов следует Res 2. Найдем Res , полагая, что функция f(z) аналитична в точке а. По теореме о вычетах: Res С другой стороны по формуле Коши для производных: Из сравнения полученных формул следует Res 3. Общая формула вычета в полюсе первого порядка. Пусть а – полюс первого порядка функции f(z). По определению существует кольцо К: , в котором функция f(z) аналитична. Разложим функцию f(z) в этом кольце в ряд Лорана:
Перейдем к пределу при в последнем выражении: Res Res 4. Найдем Res , полагая, что При выписанных условиях точка а является полюсом первого порядка функции . Воспользуемся полученным в предыдущем пункте выражением. Res . Получим формулу Res при 5. Общая формула вычета в полюсе порядка m. Пусть а – полюс порядка m функции f(z). Выпишем соответствующий этому полюсу ряд Лорана:
Продифференцируем последнее выражение (m-1) раз
Перейдем к пределу Res Получим следующие формулы вычетов в полюсе Res Res Res , Res (Общая формула вычета в полюсе первого порядка) Res (Общая формула вычета в полюсе порядка m) Пример 1. , с: рис. 1
(3 формула вычета) Пример 2. , с: рис. 2
- являются полюсами первого порядка. Правило определения порядка полюса: нужно из порядка нуля знаменателя вычесть порядок нуля числителя.
Аналогичным образом легко показать, что , поэтому
ЛЕКЦИЯ 9 План лекции 1. Лемма Жордана. 2. 2, 3 и 4-ая формулировки леммы Жордана. 3. Применение леммы Жордана для вычисления несобственных интегралов.
ЛЕММА ЖОРДАНА. Лемма Жордана (первая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( при , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента z, то для любого . Рис. 1 Положим , тогда дуги примут вид: , , , , ,
Функциональный множитель . Другие изменения, которые вызваны заменой учтем, переходом от функции g(z) к функции F(p). Лемма Жордана (вторая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента р, то для любого . Рис. 2 Заменим во второй формулировке леммы Жордана р на –р. В этом случае контур , . В функциональном многочлене знак минус введем в параметр , т. е. . Лемма Жордана (третья формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента р, то для любого .
Рис. 3 Заменим в первой формулировке z на –z. В функциональном множителе знак минус введем в параметр , т. е. . Контур принимает вид , . Лемма Жордана (четвертая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента z, то для любого . Рис. 4 Пример. Требуется найти функцию f(z), если преобразование Фурье функции , . В соответствии с преобразованием Фурье: . Для вычисления данного интеграла можно использовать теорию вычетов и лемму Жордана. Рассмотрим функцию , положив z=w+iy. 1. Пусть t>0. Рассмотрим замкнутый контур Рис. 5 Вычислим интеграл (*) Перейдем в (*) к пределу при , тогда (по первой формулировке леммы Жордана). В результате получим, что . 2. Пусть t<0. Рассмотрим замкнутый контур . Рис. 6
Вычислим интеграл по контуру с: (**) Перейдем в (**) к пределу при , тогда ( по четвертой формулировке леммы Жордана). В результате получим, что .
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Теорема. Если f(t) кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция и удовлетворяет условиям абсолютной интегрируемости, т. е. , то функция f(t) представляется интегралом Фурье: (1) На практике обычно используют комплексную форму интеграла Фурье: (2)
Покажем, что ряд (1) и (2) эквивалентны Обозначим
Ясно, что - четная функция , а функция - нечетная функция . Поэтому в силу нечетности функции. Окончательно получим, что
Представим интеграл (2) в виде . Обозначим (3) тогда (4) Равенство (4) прямое преобразование Фурье. Оно позволяет вещественной функции f(t) поставить в соответствие функцию F(iw). Обычно прямое преобразование Фурье записывают в виде . Равенство (4) задает обратное преобразование Фурье. Оно позволяет по комплексной функции F(iw) восстановить вещественную функцию f(t). Преобразования Фурье относятся к интегральным преобразованиям. Переход от вещественной функции f(t) к комплексной функции F(iw) позволяет упростить некоторые математические операции, например, дифференцирование вещественной функции f(t) в комплексной области (для функции F(iw) это соответствует умножению на iw). Символически прямое преобразование Фурье представляется в виде: , а обратное . Рассмотрим физический смысл интеграла (4). Множитель задает гармоническую функцию. По определению интеграл представляет собой операцию суммирования по частоте w . Таким образом, из равенства (4) следует, что периодическую функцию можно представить в виде бесконечной суммы гармонических функций, при этом в отличии от ряда Фурье частота w в (4) изменяется непрерывно от до . По аналогии с рядом Фурье функцию F(iw) называют комплексный спектр (спектральная характеристика, спектральная плотность). План лекции 4. Лемма Жордана. 5. 2, 3 и 4-ая формулировки леммы Жордана. 6. Применение леммы Жордана для вычисления несобственных интегралов.
ЛЕММА ЖОРДАНА. Лемма Жордана (первая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( при , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента z, то для любого . Рис. 1 Положим , тогда дуги примут вид: , , , , ,
Функциональный множитель . Другие изменения, которые вызваны заменой учтем, переходом от функции g(z) к функции F(p). Лемма Жордана (вторая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента р, то для любого . Рис. 2 Заменим во второй формулировке леммы Жордана р на –р. В этом случае контур , . В функциональном многочлене знак минус введем в параметр , т. е. . Лемма Жордана (третья формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента р, то для любого .
Рис. 3 Заменим в первой формулировке z на –z. В функциональном множителе знак минус введем в параметр , т. е. . Контур принимает вид , . Лемма Жордана (четвертая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента z, то для любого . Рис. 4 Пример. Требуется найти функцию f(z), если преобразование Фурье функции , . В соответствии с преобразованием Фурье: . Для вычисления данного интеграла можно использовать теорию вычетов и лемму Жордана. Рассмотрим функцию , положив z=w+iy. 2. Пусть t>0. Рассмотрим замкнутый контур Рис. 5 Вычислим интеграл (*) Перейдем в (*) к пределу при , тогда (по первой формулировке леммы Жордана). В результате получим, что . 2. Пусть t<0. Рассмотрим замкнутый контур . Рис. 6
Вычислим интеграл по контуру с: (**) Перейдем в (**) к пределу при , тогда ( по четвертой формулировке леммы Жордана). В результате получим, что .
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Теорема. Если f(t) кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция и удовлетворяет условиям абсолютной интегрируемости, т. е. , то функция f(t) представляется интегралом Фурье: (1) На практике обычно используют комплексную форму интеграла Фурье: (2)
Покажем, что ряд (1) и (2) эквивалентны Обозначим
Ясно, что - четная функция , а функция - нечетная функция . Поэтому в силу нечетности функции. Окончательно получим, что
Представим интеграл (2) в виде . Обозначим (3) тогда (4) Равенство (4) прямое преобразование Фурье. Оно позволяет вещественной функции f(t) поставить в соответствие функцию F(iw). Обычно прямое преобразование Фурье записывают в виде . Равенство (4) задает обратное преобразование Фурье. Оно позволяет по комплексной функции F(iw) восстановить вещественную функцию f(t). Преобразования Фурье относятся к интегральным преобразованиям. Переход от вещественной функции f(t) к комплексной функции F(iw) позволяет упростить некоторые математические операции, например, дифференцирование вещественной функции f(t) в комплексной области (для функции F(iw) это соответствует умножению на iw). Символически прямое преобразование Фурье представляется в виде: , а обратное . Рассмотрим физический смысл интеграла (4). Множитель задает гармоническую функцию. По определению интеграл представляет собой операцию суммирования по частоте w . Таким образом, из равенства (4) следует, что периодическую функцию можно представить в виде бесконечной суммы гармонических функций, при этом в отличии от ряда Фурье частота w в (4) изменяется непрерывно от до . По аналогии с рядом Фурье функцию F(iw) называют комплексный спектр (спектральная характеристика, спектральная плотность). ЛЕКЦИЯ 10 План лекции 1. Единичная ступенчатая функция. 2. Дельта - функция. 3.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (888)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |