ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Выпишем прямое и обратное преобразование Фурье. (1) (2)
В соответствии с приведенной теоремой функция f(t) преобразуется по Фурье если: 1) f(t) – кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция. 2) f(t) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, т. е. . Большинство элементарных функций не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости и, следовательно, не преобразуются по Фурье. Однако с помощью простых преобразований можно обобщить преобразование Фурье на многие функции. Поступают так. Функцию f(t) умножают на , где с подбирают так, чтобы обеспечить абсолютную интегрируемость. Запишем условие абсолютной интегрируемости для функции: Наименьшее из чисел с или предел к которому стремится с, для которых - существует (конечен) называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается . Запишем , (3) Равенство (3) задает одностороннее преобразование Фурье. В соответствии с (2) обратное одностороннее преобразование Фурье задается равенством: (4) При переходе от преобразования Фурье к одностороннему преобразованию Фурье уменьшается интервал определения функции f(t), которая теперь определена в области . Такое усечение интервала определения с физической точки зрения оправдывается тем, что в технических системах все процессы имеют начало, момент начала которого можно совмести с точкой . Объединим в одностороннем преобразовании (3) множитель с ядром преобразования : (5) Равенство (5) задает обобщенное преобразование Фурье. Оно позволяет по вещественной функции f(t) построить комплексную функцию F(с+iw). Найдем преобразование обратное к преобразованию Фурье. Перепишем (4) в виде: (6) Умножим (6) на :
, (7) – позволяет по комплексной функции F(c+iw) восстановить вещественную функцию f(t) и называется обратным обобщенным преобразованием Фурье. Введем комплексную переменную s=c+iw, тогда равенства (5) и (7) принимают вид: (8) (9) Равенства (8) и (9) задают соответственно прямое и обратное преобразование Лапласа. В равенстве (9) пределы интегрирования показывают, что интегрирование ведется вдоль прямой Res=c. Рис.1 В преобразовании Лапласа функцию f(t) называют оригиналом, а функцию F(s) – изображением. Символически преобразование Лапласа записывается в виде : Для обратного преобразования используется соотношение: Преобразование Лапласа позволяет перейти от оригинала к изображению. Переход от оригинала к изображению позволяет упростить ряд математических операций, в том числе решение линейных дифференциальных уравнений.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (282)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |