ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА. Функция называется оригиналом, если: 1) ; 2) - кусочно-гладкая кусочно-непрерывная функция; 3) существует показатель роста, т. е. найдутся такие числа и , что . (*) Наименьшее из чисел или предел, к которому стремится наименьшее число, для которого справедливо равенство (*), называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается . В дальнейшем под изображением будем понимать: . Такое уточнение изображения никак не сказывается на выполнении прямого и обратного преобразования Лапласа. Оно проявляет себя лишь в некоторых свойствах преобразования Лапласа. Теорема 1. Если является оригиналом, то изображение определено в области и является в этой области аналитической функцией. Первая часть теоремы, утверждающая существование изображения в области , непосредственно следует из обобщенного преобразования Фурье. Докажем, что изображение в этой области является аналитической функцией. продифференцируем по s . Переходя к дифференцированию под знаком интеграла, получим . Покажем, что интеграл существует. Оценим Т. о. получили, что интеграл существует, следовательно, производная существует при можно взять сколь угодно близким числу . Отсюда следует, что существует в области Теорема доказана. Теорема 2(основная теорема об обратном преобразовании Лапласа). Если функция является оригиналом, а - изображение функции , то в каждой точке t непрерывности функции Доказательство этой теоремы следует из обобщенного преобразования Фурье. Она уточняет, что обратное преобразование Лапласа сходится к только в точках непрерывности функции . В точках разрыва обратное преобразование Лапласа сходится к среднему значению. ЛЕКЦИЯ 12 План лекции 1. Изображение некоторых элементарных функций. 2. Линейность преобразования Фурье. 3. Теоремы об изображении производной и интеграла. 4. Теоремы об изменении масштаба, смещения в комплексной области.
ИЗОБРАЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 1.Найдем преобразование Лапласа функции 1(t): L[1(t)]. L[1(t)] = при Res > 0 ( ) , при с >0 L[1(t)] = , при Res > 0 . 2. Найдем преобразование Лапласа функции sinbt: L[sinbt]. L[sinbt] =
, при с > 0, > 0 . Приведем таблицу соотношений оригинал-изображение.
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА. 1.Линейность преобразований. Теорема 1. Если функция f1(t) и f2(t) являются оригиналами и имеют, соответственно, изображения F1(s) и F2(s), то преобразование Лапласа от соотношения L[k1 f1(t) k2 f2(t)] = k1F1(s) k2 F2(s) , где k1, k2- некоторые константы. Доказательство.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (570)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |