Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»

Пример 3.1.

Найти все частные производные 1-го порядка: Пример 3.2.

Найти все частные производные 1-го порядка

Пример 3.3.

Найти все частные производные 1-го порядка

Пример 3.4.

Найти все частные производные 2-го порядка

Пример 3.5.

Дана функция , точка A(1; 1) и вектор .

Найти: a) в точке A; б) производную в точке A по направлению вектора a.

Найдем частные производные данной функции

Подставим координаты точки А в данные частные производные.

в точке A

Определим направляющие косинусы для вектора а

Для этого найдем длину вектора

Найдем производную по направлению

Пример 3.6.

Докажите, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение:

Найдем частные производные данной функции

 

Пример 3.7.

Производственная деятельность фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа , где - величина выпуска продукции, - число единиц оборудования (капитал) и - численность работающих (труд).

1) Составьте функцию издержек фирмы, если стоимость ед. фактора равна 4 ден.ед., а стоимость ед. фактора равна 1 ден.ед.

2) Решите задачу определения максимального выпуска продукции, который может обеспечить фирма, полностью истратив все средства ден.ед.

Решение:

Функция издержек фирмы

ден. ед.

 

Изокванта для выпуска продукции объемом Q (4, 1)=2

 

 

 

К= ден.ед.

K
L

 

Пример 3.8.

Фирма реализует произведенную продукцию по цене p, а зависимость издержек C имеет вид .

a=15; b=0,009; c=100; p=85.

1) выполнить полное исследование функции зависимости прибыли фирмы П от объема производства q построить ее график;

2) найти оптимальный для фирмы объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

Прибыль= доход- издержки

Общая схема исследования:

1. Область определения

2. Точки пересечения с осями координат

3. Четность-нечетность, периодичность.

4. Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания функции.

5. Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости.

6. Асимптоты вертикальные и наклонные.

7. График.

1) Область определения

Д(q)=

2) Точки пересечения с осями координат

С ось ох =>у=0

нет корней

Нет точек пересечения с осями координат

3)Четность-нечетность, периодичность

Д(q)=

Так как график несимметричен относительно оси оу и начала координат, нечетная и не нечетная

Функция не содержит тригонометрических выражений - не является периодической.

4)Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания.

 

q=50.92- точка экстремума

убыток

q		(0;50,92)	50,92	(50,92; )
		+		-
C	-100	возрастает	2275,3	убывает

 

5)Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости

q
		-
C	-100	выпукла

 

6) Асимптоты

У=кх+в

C

Правой асимптоты нет

 

 

q

p=50.92 объем производства

П=2275,3 прибыль