Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций»
Красноярск 2016 Составители: доцент Л.М. Коренюгина,
Коренюгина Л.М., Разгулина Е.С. МаТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: Практические задания по дисциплине для студентов очной формы обучения направления 38.03.01 Экономика / Л. М. Коренюгина, Е. С. Разгулина. – Красноярск: АНО ВО СИБУП, 2016. – с.
Все темы сопровождаются расчётными примерами с обстоятельными пояснениями. Предложены варианты выполнения контрольной работы.
Методические указания утверждены и одобрены к печати научно–методическим советом СИБУП от 2016 г. Протокол №
Коренюгина Л. М., Разгулина Е. С., 2016 АНО ВО Сибирский институт бизнеса, управления и психологии, 2016
Содержание ВВЕДЕНИЕ 4 Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций». 5 Тема 2: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». 17 Тема 3: «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных» 29 Тема 4: «Интегральное исчисление». 41 Тема 5: «Дифференциальные уравнения». 50 Тема 6: «Ряды». 85 Итоговая контрольная работа №1 по темам 1,2,3. 96 Итоговая контрольная работа №3 по теме 5. 102 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 104
ВВЕДЕНИЕ
Тема 1. «Пределы числовых последовательностей и функций»
Пример1.1 Найти область определения функции, исследовать заданную функцию на чётность. 1. a) f(x)= arctg( ); b) f(x)= -ctg(2x); Решение: А)) f(x)= arctg( );
b) f(x)= -ctg(2x);
Пример1.2. Найти предел Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Разложим в числителе данное выражение на множители Пример1.3. Найти предел Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Разделим числитель и знаменатель данной дробно-рациональной функции на (на x в наивысшей степени). Тогда используя свойства пределов, получим Пример1.4. Найти предел
Здесь мы имеем с неопределенностью вида ¥–¥. Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):
Пример1.5. Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Умножим числитель и знаменатель на точно такое же выражение, стоящее в знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми:
Пример1.6. Здесь мы имеем с неопределенностью вида . При вычислении данного предела воспользуемся методом эквивалентных бесконечно малых величин. = Пример1.7. Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Преобразуем выражение, стоящее в скобках, следующим образом . Тогда исходный предел можно преобразовать так: Предел выражения в квадратных скобках, в соответствии со вторым замечательным пределом, равен . В результате получаем
. Пример1.8.
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
a ) ; b ) ; c ) ; d ) ;
а) ;
b ) ; c ) ; =0 =0
d ) Здесь мы имеем с неопределенностью вида . При вычислении данного предела воспользуемся методом замены и методом эквивалентных бесконечно малых величин.
Пример 1.9. Задана функция y=f(x) и два значения аргумента x и x . Требуется: 1) найти область непрерывности функции и установить, является ли данная функция непрерывной для каждого из заданных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции сделать вывод о характере точки разрыва; 3) сделать схематический чертёж в окрестности точки разрыва. f(x)= 12 , x = 1 , x = 0 ;
Данная функция элементарная 1) Область определения Д(х)= Во всех точках определения функция непрерывна
В точке x1 = 1 функция непрерывна определим характер точки разрыва Для этого найдем односторонние пределы
В точке x2 = 0 функция терпит разрыв второго рода
Пример 1.10. Найти точки разрыва функции и определить характер разрыва. Построить график функции. f(x)= Данная функция задана тремя элементарными функциями, определенными на различных интервалах изменения х. Функция непрерывна на каждом интервале Разрыв возможен только в точках x1 = -1, x2 =0, где меняется аналитическое выражение функции Для этого найдем односторонние пределы
В точке x1 = -1 функция непрерывна f(0)не определено В точке x2 = 0 функция терпит разрыв первого рода (односторонние пределы конечные числа не равные между собой)
Пример 2.1. Найти производную При вычислении производной данной функции следует использовать правило дифференцирования частного: . В результате получим Пример 2.2. Найти производную
Пример 2.3. Найти производную
Пример 2.4. Найти производную
Пример 2.5. Найти производную
Пример 2.6. Найти производную
Пример 2.7. Найти производную .
Пример 2.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x3–3x+1 на отрезке [1/2; 2].
Ответ : Пример 2.9. Составьте уравнение касательной в точке Решение: Найдем производную: . касательная Ответ : касательная к графику функции в точке
Пример 2.10. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию. Построить график этой функции, используя результаты исследования. Общая схема исследования: 1. Область определения 2. Точки пересечения с осями координат С ось ох =>у=0 3. Четность-нечетность, периодичность. 4. Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания функции. 5. Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости. 6. Асимптоты вертикальные и наклонные. 7. График. 2) Область определения Д(х)= 3) Точки пересечения с осями координат С ось ох =>у=0
Нет точек пересечения с осями координат 3) Четность-нечетность, периодичность не является четной и не является нечетной, график не симметричен относительно оси оу и начала координат. Функция не содержит тригонометрических выражений - не является периодической. 4)Точки экстремума, промежутки возрастания, убывания.
точки экстремума х= и х= Найдем знак первой производной на промежутках области определения
5)Точки перегиба, промежутки выпуклости, вогнутости = действительных корней нет, точек перегиба нет . Найдем знак второй производной на промежутках области определения.
6) Асимптоты У=кх+в К= в= У=3х-5–наклонная асимптота Вертикальные асимптоты Х=1 точка разрыва = = = = = = = = Пример 2.11.
Вычислить предельную выручку, если известны уравнения спроса10q+p-100=0 и значения цены р=80 на продукцию (- количество продукции. р-цена продукции) Что она показывает? оптимальная цена, при которой получаем максимальную выручку и при которой спрос равен передложению Количество товара, которое можно продать с учетом спроса при оптимальной цене.
Пример 2.12. Функции спроса и предложения имеют вид - спроса, - предложения. Найти: 1) равновесную цену ; 2) эластичность спроса и предложения для этой цены . 1) равновесная цена находится в случае, если спрос равен предложению
оптимальная цена, при которой получаем максимальную выручку и при которой спрос равен передложению Количество товара, которое можно продать с учетом спроса при оптимальной цене. Спрос на товар по оптимальной цене
2) эластичность спроса и предложения для этой цены . Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел Спрос – это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса ED – это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если |ED| > 1, то спрос называется эластичным, если |ED| < 1, то неэластичным. В случае ED = 0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (355)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |