Тема 5: «Дифференциальные уравнения»
Пример 5.1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения: Данное уравнение является однородным уравнением Разделяя переменные, получим:
Общее решение Пример 5.2. Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям
Найдем общее решение однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Полученное квадратное уравнение имеет действительные различные корни: k1=1 k2=-2. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид . Пример 5.3. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения , Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим . Интегрируя обе части равенства: Пример 5.4. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения , Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением Сделаем подстановку . Тогда y=ux и y'=u'x+u. Это и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения. Пример 5.5. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Сделаем подстановку y=uv; тогда y'=u'v+uv'. Тогда данное уравнение примет вид
Пример 5.6. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения Данное уравнение является дифференциальным уравнением Бернулли. Сделаем подстановку y=uv; тогда y'=u'v+uv'. Тогда данное уравнение примет вид
Пример 5.7. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения , Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Сделаем подстановку х=uv; тогда х'=u'v+uv'.
Пример 5.8. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения . Пример 5.9. Найти общий интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка: Решение. Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде искомую функцию y(x), следовательно, оно допускает понижение порядка. Для этого положим y''=p(x) Тогда y'''=dp/dx и уравнение примет вид
Разделяя переменные, получим Пример 5.10. Найти частный интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка: Это дифференциальное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x, следовательно, оно допускает понижение порядка. Положим y'=p(y), тогда . В результате, исходное уравнение примет вид
Пример 5.11. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Составляем характеристическое уравнение . Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k1=0, k2=4. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид . Пример 5.12. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Составляем характеристическое уравнение . Полученное квадратное уравнение имеет комплексные корни: k1=2+3i, k2=2-3i. Пример 5.13. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: однородное дифференциальное уравнение второго порядка. соответствующее характеристическое уравнение корни действительные и различные Пример 5.14. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k1=6, k2=6. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид . Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: f(x) , т.е. решение будем искать в виде k1=k2=6=а, кратность корня = 2 . Находя производные этой функции и подставляя их в исходное уравнение, получим
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид . Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид Пример 5.15. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k1=0, k2=2. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид . Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: f(x) , т.е. решение будем искать в виде k1=0=а однократный корень характеристического уравнения . Находя производные этой функции и подставляя их в исходное уравнение, получим
Найдем неизвестные коэффициенты A, B, C. Для этого сравним коэффициенты при одинаковых степенях x: Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид Пример 5.16. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Полученное квадратное уравнение имеет комплексные корни: k1=3+4i, k2=3–4i. Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: а=0+4i не является корнем характеристического уравнения Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид и подставляя их в исходное уравнение, получим Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид Пример 5.18. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k1=0, k2=-2. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид . Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: . и подставляя их в исходное уравнение, получим
Пример 5.19. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Найти общее решение линейного дифференциального уравнения методом вариации постоянных (методом Лагранжа): . Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Общее решение однородного уравнения Найдем частное решение неоднородного уравнения Рассмотрим правую часть исходного уравнения Решим задание через вронскиан Так как , то выражения принимают значения
Пример 5.20. Найти решение системы дифференциальных уравнений: Решение:
Пример 5.21. Найти решение системы дифференциальных уравнений:
Ответ:
Пример 5.22. Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией , коэффициент капиталоёмкости прироста дохода , .
Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задаётся функцией , коэффициент капиталоёмкости прироста дохода , . Решение: Известно, что функция дохода равна , где – сумма инвестиций, – величина потребления. А также имеет место дифференциальное уравнение , где – коэффициент капиталоёмкости прироста дохода. По условию задачи составим дифференциальное уравнение: , или Итак, функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному уравнению первого порядка. Будем искать его решение в виде . Тогда , подставим в уравнение 1) 2)
Общее решение или Используя начальные условия , найдём : или . Итак, функция дохода имеет вид . Задания к теме 5 «Дифференциальные уравнения» Проинтегрировать данные уравнения или системы уравнений; если заданы начальные условия, то выделить частные решения: 1. 2. 3. 4. 5. 6. . 7. 8. 9. . 10. 11. . 12. 13. . 14. 15. . 16. 17. . 18. 19. . 20. ; 21. . 22. . 23. 24. 25. 2016-09-16 |
300 |
Обсуждений (0) |
|
5.00
из
|
|
Обсуждение в статье: Тема 5: «Дифференциальные уравнения» |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы