Динамика материальной точки и твердого тела. Законы Ньютона. Масса. Виды сил в механике: силы трения, трение покоя, скольжения и качения, силы упругости

Конспект

ЛЕКЦИЯ-1

Механика. Кинематика материальной точки. Скорость и ускорение. Простейшие движения тела.

 

1. Модели в механике. Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели: материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело, система отсчета, траектория и т.п.

Механика представляет собой учение о простейшей форме движения материи – о перемещении тел друг относительно друга. Наиболее простым механическим движением является движение материальной точки. Это означает, что рассматриваемое тело, обладающее массой, должно быть мало. Понятие материальной точки – абстрактное, но его ведение облегчает решение практических задач. В механике сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки необходимо знать положение тела в любой момент времени. Для этого необходимо задать тело отсчета* и связанную с нимсистему отсчета.

Рассмотрим декартовую систему координат, где положение точки А в данный момент времени определяется тремя координатами x, y, z (рис.1) или радиус-вектором , проведенным из начала системы координат в данную точку, которые при движении точки будут изменяться в зависимости от времени.

Система уравнений, определяющих зависимость координат от времени называется уравнениями движения:

или в векторной форме:

2. Скорость и ускорение. При равномерном движении путь, проходимый материальной точкой, пропорционален интервалу времени, в течение которого происходит движение:

.

Скорость, для задания которой недостаточно привести численное значение, ибо нужно указать и направление движения. Скорость – это вектор, а именно – вектор, направленный по касательной к траектории.

Для определения быстроты движения вводится еще одна физическая величина – мгновенная скорость (рис.2), которая определяется по формуле:

Согласно этому соотношению, скорость является примером физической величины, для задания которой недостаточно привести численное значение, ибо нужно указать и направление движения. Скорость – это вектор, а именно – вектор, направленный по касательной к траектории (рис.3 и рис.4).

Знание скорости позволяет определить положение точки (тела) в любой момент времени по формуле:

В свою очередь для характеристики изменения скорости в случае неравномерного движения в любой момент времени важно знать быстроту изменения скорости тела, для этого вводят физическую величину – ускорение*.

 

Вектор ускорения принято раскладывать на две составляющие: центростремительное (или нормальное) и касательное (или тангенциальное). Это объясняется тем, что скорость – векторная величина и может изменяться как по направлению, так и по значению. Полное ускорение определяется как сумма его составляющих:

Нормальное ускорение показывает быстроту изменения скорости по направлению, направлено перпендикулярно мгновенной скорости и определяется по формуле:

где – радиус кривизны траектории движения в любой момент времени (рис.3 и рис.4).

Тангенциальное ускорение показывает быстроту изменения скорости по величине, направлено по касательной к траектории движения, в направлении движения или в противоположную сторону, в зависимости от увеличения или уменьшения скорости. Тангенциальное ускорение определяется по формуле:

.

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

Ø – прямолинейное равномерное движение;

Ø – прямолинейное равнопеременное движение;

Ø – прямолинейное движение с переменным ускорением;

Ø – скорость изменяется по направлению и не изменяется по модулю, движение по окружности является равномерным;

Ø – равномерное криволинейное движение;

Ø – криволинейное равнопеременное движение;

Ø – криволинейное движение с переменным ускорением.

3. Угловая скорость и угловое ускорение.Рассмотрим твердое тело, как систему жестко связанных между собой материальных точек, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения (рис.5 и рис.6).

Подобно линейной скорости, при вращательном движении твердого тела вводится величина угловой скорости . Она определяется углом поворота радиуса окружности, описываемой точкой тела (это угол между двумя положениями радиуса окружности). Тогда угловая скорость определится по формуле:

.

Где -единичный вектор, направленный по оси вращения и определяемый по правилу правого винта.

Направление определяется по правилу правого винта. Угловое ускорение вводится аналогично.

.

– являются псевдовекторами. Его направление совпадает с направлением угловой скорости, если и направлено в противоположную сторону, если (рис.5 и рис.6).

Связь между угловыми и линейными характеристиками определяется по формулам:

; ; ; .

В векторной форме связь между угловой и линейной скоростями определится по формуле:

.

В случае равнопеременного движения точки по окружности точки ( ):

; .

ЛЕКЦИЯ-2

Динамика материальной точки и твердого тела. Законы Ньютона. Масса. Виды сил в механике: силы трения, трение покоя, скольжения и качения, силы упругости.

 

Раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с физическими причинами, вызывающими это движение, называется динамикой.

В основе динамики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются обобщением результатов огромного человеческого опыта.

Первый закон Ньютона касается движения тел, не испытывающих внешних воздействий: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Таким образом, наличие скорости само по себе не показывает, действуют ли на тело внешние силы или нет; изменение скорости есть результат действия силы.

Как указывалось ранее, движение происходит всегда относительно некоторой системы отсчета. Закон Ньютона справедлив только для систем, движущихся без ускорения и называемых инерциальными системами. Первый закон Ньютона называют также законом инерции, так как оно связано с инертностью тел. Первый закон Ньютона говорит о существование инерциальных систем отсчета. Опыт показывает, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета – начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определенных звезд. Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако при решении многих задач эффекты, обусловленные ее неинерциальностью пренебрежимо малы, поэтому ее считают инерциальной.

Опыт показывает, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, то есть приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но от свойств самого тела, то есть от его массы. Масса является одной из основных физических величин. Существенно, что она характеризует не только инерционные свойства тел, но и их гравитационные свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10^-12 их значения). Чтобы описывать воздействия, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т.е. приобретают ускорение (динамическое проявление сил), либо деформируются (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.

Второй закон Ньютонаустанавливает связь между изменением движения и внешними воздействиями, которым подвергается рассматриваемое тело. Изменение скорости движения данного тела пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует. При одной и той же силе ускорения различных тел неодинаковы, они зависят от массы тел. Учитывая, что сила и ускорение – величины векторные, можем записать

(1)

Соотношение (1) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В Си коэффициент пропорциональности k=1. Тогда

(2)

Выражение (2) – более общая формулировка II закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Векторная величина называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Единица силы в СИ – ньютон (Н): .

Обратим внимание на то, что: II закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета; I закон можно сформулировать из II закона Ньютона.

Если на материальную точку действуют две силы, то их действие эквивалентно действию одной силы: , получаемого из треугольника сил. При увеличении количества сил правило остается то же, но получают векторный многоугольник, где замыкающая сила является равнодействующей. В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, равное произведению этой силы на массу точки. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, что упрощает решение задач. Например, на рис.1 сила разложена на два компонента: тангенциальную силу (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу (по нормали к центру).

Тогда можно записать:

и .

Третий закон Ньютона.Влияние на тело (материальную точку) не может односторонним, взаимодействие должно быть, по сути дела, обоюдным. Этот факт отражается третьим законом динамики, сформулированным для случая взаимодействия двух материальных точек (рис.2):

. (3)

Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Применяя формулу импульса и второго закона Ньютона, можно записать:

;

где – изменение импульса; – импульс действующей силы. Если на тело, или систему тел, не действует сила, то изменение импульса будет равна нулю. Это означает, что импульс данной системы не изменяется со временем. Последнее является выражением закона сохранения импульса замкнутой системы.

2. Динамика поступательного движения твердого тела. Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых может рассматриваться как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы материальных точек,которая рассматривается как механическая система.

Механика рассматривает абсолютно твердые тела. Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены.

Закон сохранения импульса. Центр масс. Рассмотрим механическую систему, состоящую из nтел, масса и скорость которых соответственно равны m₁, m₂, …, m_n и . Пусть – равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а – равнодействующие внешних сил. По II-закону Ньютона для каждого из nтел механической системы можно записать:

(1)

. . . . . . . . . . .

.

Сложим почленно уравнения (1) и получим:

. (2)

По III-закону Ньютона геометрическая сумма внутренних сил механической системы в выражении (2) равна нулю, тогда получим:

. (3)

Здесь выражение в левой части равенства (3) является импульсом системы:

(4)

Выражение (3) примет вид:

, (5)

то есть, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

Если система замкнутая, то получим: ,

то есть: , (6)

здесь n – число материальных точек в системе.

Выражение (6) является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Этот закон справедлив не только в классической физике, но и в квантовой механике (для замкнутых систем микрочастиц. Поэтому этот закон носит универсальный характер – фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса выражает свойство симметрии пространства – его однородность.

Так как масса не зависит от скорости движения, то импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс*, который определяется через радиус-вектор и скорость так:

и .

Учитывая выражение (4), можно записать

, (7)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Подставив выражение (7) в выражение (5), получим:

, (8)

т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы. Выражение (8) представляет собой закон движения центра масс.

Уравнение движения тела переменной массы.Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы. Например, масса ракеты изменяется за счет истечения газов, образующихся за счет сгорании топлива. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v , по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm, т.е. станет (m-dm), а скорость станет равной (v-dv). Изменение импульса системы за отрезок времени dt:

где – скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

.

Если на систему действуют внешние силы, то , поэтому

отсюда

. (9)

Величина называется реактивной силой. Нетрудно далее закончить рассуждения: если u противоположен v, то ракета ускоряется, если же совпадает с v, то тормозится.

Т.о. мы получим уравнение движения тела переменной массы:

, (10)

которое впервые было выведено И.В. Мещерским. Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась в ХIХ в. Н.И. Кибальчичем, К.Э.Циолковским.

Различные виды сил в механических процессахотличаются своим происхождением, зависимостью от координат, скоростей и т.п. например, силы тяготения, силы упругости и силы трения.

1. Силы трения: вызываются взаимодействием молекул соприкасающихся тел, направлены вдоль соприкасающихся поверхностей и зависят от их относительной скорости, направлены противоположно скорости движения. Различают внешнее (сухое) и внутреннее (вязкое) трение. В зависимости от состояния тела – покой или движение – говорят о трении покоя и о трении скольжения, трении качения. Последние относятся к сухому трению.

Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рис.1), к которому приложена горизонтальная сила . Если эта сила будет больше силы трения , то тело придет в движение. Французские физики Г.Амонтон и Ш. Кулон опытным путем установили закон:

где f – коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей, которое можно определить с помощью рис.2.

Если тело находится на наклонной плоскости с углом наклона a, то оно приходит в движение только когда тангенциальная составляющая силы тяжести больше силы трения . Следовательно, в предельном случае (начало скольжения тела)

или , откуда .

 

2. Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники). На рис. 3 изображено колесо, катящееся по горизонтальному участку пути.

Здесь движущая сила образует пару с силой сцепления колеса с поверхностью, момент которой будет зависеть от плеча r пары. Вес тела и реакция поверхности образуют вторую пару с моментом, которая называется моментом трения качения , плечо этого момента d -является коэффициентом трения качения, зависит от степени деформации тела. А момент, образуемый парой сил и называется движущим моментом . Если тело находится на наклонной плоскости с углом наклона a, то оно рассматривается аналогично тому, как мы уже рассмотрели для трения скольжения: катящееся тело приходит в движение только когда движущий момент будет больше момента трения качения.

3. В отличие от внешнего трения, во внутреннем трении отсутствует трение покоя. А если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой среды – жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. Это – гидродинамическое трение (если слой смазки достаточно толстый) или граничное трение (если толщина смазочной прослойки »0,1 мкм).

4.Силы упругости.Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, то есть одна его часть может смещаться относительно другой или изменится его форма. При этом внутри деформированного тела возникает противодействующая сила, называемая силой упругости или упругой силой.

Существует несколько видов деформации тел: односторонне растяжение, односторонне сжатие, всестороннее растяжение, всестороннее сжатие, кручение, сдвиг, изгиб. Каждый вид деформации вызывает появление соответствующей силы упругости.

Опыт показывает, что величина упругой силы, возникающей при малых деформациях любого вида, и смещения Dх (величины деформации) пропорциональны друг другу, т.е.

это соотношение называется законом Гука. Рассмотрим силы упругости, возникающей в деформированной пружине.

ЛЕКЦИЯ-3

Работа, энергия, мощность. Кинетическая и потенциальная, полная энергии. Сохранение полной энергии. Консервативная сила и потенциальная энергия. Соударение тел. Центр масс.

1. Энергия – это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Каждой форме движения материи соответствует свои вид энергии: механическая, тепловая, электромагнитная, атомная, ядерная и др. В различных процессах один вид энергии может переходить в другой (другие) и наоборот, причем, энергия, отданная одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Изменение механического движения (энергии) тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Для количественной характеристики процесса обмена энергией между взаимодействующими телами в механике вводится понятие работы силы.Если на тело действует постоянная по направлению и значению сила , которая направлена под углом к траектории движения, то работа определяется по формуле:

(1)

В общем случае, когда сила переменная величина, весь участок пути, на котором определяется работа делят на элементарные участки, в пределах которого силу можно считать постоянной величиной и тогда элементарная работа определяется по формуле:

(2)

Учитывая, что работа является величиной аддитивной, работу на всем участке пути можно определить:

(3)

Для характеристики быстроты совершения работы применяют величину – мощность:

(4)

Единица работы- джоуль(1Дж.=1Н м). Единица мощности- ватт (1Вт=!Дж/с).