Проверка гипотез о законе распределения
В большинстве случаев закон распределения изучаемой случайной величины Х неизвестен, но существуют основания предполагать, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, экспоненциальный или какой-либо другой. В качестве статистического критерия проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения используют критерий согласия, который используют для проверки согласия предполагаемого вида распределения с опытными данными на основе исследуемой выборки. В статистике используют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера и др. Критерий Пирсона
Наиболее часто при проверке гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения пользуются критерием Пирсона. Пусть задана выборка из генеральной совокупности в виде статистического интервального ряда. Необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, пользуясь критерием Пирсона.
Правило проверки: 1. Вычисляют и (формулы 1.10-1.12, 1.16). 2. Находят теоретические частоты . Вычислить теоретические частоты можно по формуле:
, (1.45)
где – объем выборки, – шаг, ; (1.46)
(1.47)
- функция Гаусса, значение которой в точке , находится по таблице (приложение 3).
(1.48)
- вероятность попадания значений случайной величины в -й интервал. Для определения составляют вспомогательную таблицу (табл. 1.8).
Таблица 1.8
3. Сравнивают эмпирические ( ) и теоретические ( ) частоты с использованием критерия Пирсона по алгоритму: 1) составляется расчетная табл.1.9, из которой определяется наблюдаемое значение критерия по формуле:
. (1.49) Таблица 1.9
2) Определяется число степеней свободы на основании формулы:
, (1.50)
где – число интервалов; – число параметров предполагаемого распределения.
Для нормального распределения число степеней свободы равно в виду того, что - нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами и . 4. По данным таблицы критических точек (квантилей) распределение (приложение 4) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяют правосторонней критической области. Когда то отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности оснований не существует. В случае если – гипотеза отвергается. Замечание: 1) Объем изучаемой выборки должен быть достаточно большой . 2) Малочисленные частоты при следует объединять, в том числе и соответствующие им теоретические частоты. В случае, когда производилось объединение частот при определении числа степеней свободы по формуле в качестве необходимо принимать число интервалов, оставшихся после объединения частот.
Критерий Колмогорова
На практике кроме критерия часто используют критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривается максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей ей теоретической функцией распределения:
, (1.51)
называемой статистикой критерия Колмогорова. Критерий Колмогорова в своем классическом виде является более мощным, чем критерий Пирсона и может быть использован для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению с заранее известными параметрами. Доказано, что какой бы ни была функция распределения непрерывной случайной величины , при неограниченном увеличении числа наблюдений вероятность неравенства стремится к пределу:
. (1.52)
Задавая уровень значимости , из соотношения (1.53):
, (1.53) можно определить соответствующее критическое значение . При этом график функции K(l) имеет следующий вид:
Значения K(l) находят, пользуясь данными табл. 1.10. Таблица 1.10
Если найденному значению соответствует очень малая вероятность, то есть , то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями нельзя считать случайным. Следовательно, рассматриваемая выборка не подчиняется нормальному закону распределения. Если вероятность , то расхождение между частотами может быть случайным, и распределения хорошо соответствуют одно другому. Схема применения критерия Колмогорова следующая: 1. Строят эмпирическую функцию распределения и предполагаемую теоретическую функцию распределения . 2. Определяют меру расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями с использованием формулы (1.54) и вычисляют величину :
. (1.54)
где – максимум абсолютного значения разности между накопленными эмпирическими частотами М и накопленными теоретическими частотами , n – объем выборки.
3. Если вычисленное значение больше критического , определенного при уровне значимости , то нулевая гипотеза о том, что случайная величина имеет заданный закон распределения, отвергается (односторонний критерий). Если же , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным и принимается. Замечание: Можно отметить, что решение подобных задач можно было бы найти с помощью критерия . Потенциальное преимущества критерия Колмогорова в том, что он не требует группирования данных (с неизбежной потерей информации), а дает возможность рассматривать индивидуальные наблюдаемые значения. Этот критерий можно успешно применять для малых выборок. Считается, что его мощность выше, чем у критерия .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (734)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |