Анализ динамики резонатора

К нормализованной системе:

применим метод усреднения Крылова-Боголюбова, для этого приведем её к стандартному виду посредством перехода от переменных α, β, , к медленным переменным «Амплитуда-фаза» A, B, , по формулам [2]:

(3)

где τ = εt – «медленное» время; A, B – медленно меняющиеся амплитуды; , – фазовые расстройки парциальных колебаний; – мгновенная частота возмущающей силы, зависящая от «медленного» времени.

После взятия и подстановки всех необходимых производных, проведения алгебраических преобразований и усреднения, в конечном итоге, получена система дифференциальных уравнений движения резонатора в медленных переменных в первом приближении:

 

(4)

 

Для определения стационарных колебаний чувствительного элемента на подвижном основании приравняем к нулю правую часть системы 4) и разрешим её относительно функций , , , .

После всех преобразований получены два уравнения для амплитуд стационарных колебаний:

 

(5)

 

Числовой пример

Пусть заданы следующие расчетные данные: γ = 0,003; ν = 0,001; f₀ = 2·10^-9/2, а ω = 1 - σt, где σ = 10^-3.

Из уравнений (10) получим начальные условия для амплитуд A и B, которые соответственно равны:

Ниже представлены графики зависимостей амплитуд А и B от частотной расстройки [5, 6]:

Рисунок 2 - Зависимость изменения амплитуды A от частотной расстройки

 

Рисунок 3 - Зависимость изменения амплитуды B от частотной расстройки

 

В итоге можно сделать следующие системы:

– на АЧХ наблюдается раздвоение частот, что обуславливается наличием угловой скорости основания ν;

– вязкое трение в системе способствует сглаживанию резонансных пиков;

– на графиках видно существенное искажение и смещение резонансных пиков, что происходит из-за наличия в системе нелинейных деформаций;

– медленное изменение частоты колебаний резонатора приводит к неравномерному изменению амплитуд колебаний, зависящему от добротности колебательного контура и угловой скорости основания.

 

Заключение

 

Разработана математическая модель микромеханического гироскопа с резонатором в виде точечной массы, имеющей две степени свободы. Данная математическая модель учитывает наличие вязкое трение в системе, угловую скорость основание и нелинейные деформации системы в режиме вынужденных колебаний чувствительного элемента. Численным моделированием установлено, что нелинейные эффекты и медленное изменение частоты вынуждающей силы существенно влияют на амплитуду колебаний резонатора.

 

Список литературы

[1] Антонов Е.А., Подалков В.В.Поведение микромеханического гироскопа L-L типа в режиме вынужденных колебаний. / Актуальные проблемы мехатроники и робототехники. Сборник научно-методических статей / Кирсанов М.Н. М. Издательство МЭИ, 2015. – 100 с. – ISBN.

[2] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974. 503 с.

[3]Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. Ч. I. –М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010. –132 с.

[4] Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. Ч. II. –М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011. –170 с.

[5] Дьяконов В.П. Mathematica 5.1/5.2/6. Программирование и математические вычисления. — М.: «ДМК-Пресс», 2008. — С. 576.

[6] Дьяконов В.П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство. — М.: «ДМК Пресс», 2009. — С. 624.

[7] Коновалов С.Ф., Подчезерцев В.П., Майоров Д.В., Пономарев Ю.А., Сидоров А.Г., Парк Х.В, Квон Т.И., Ли Г.С., Сео Дж.Б. Двухкоординатный микромеханический ДУС с магнитоэлектрическими датчиками обратной связи по каналам возбуждения и измерения // Гироскопия и навигация. СПб, 2010. №3(70). С. 61–71.

[8]Лестев М. А. Нелинейный параметрический резонанс в динамике микромеханического гироскопа // Известия вузов. Приборостроение. 2004. Т. 47, N 2. - С. 36-42.

[9] Лестев А.М., Ефимовская А.В.О влиянии нелинейных факторов на динамику микромеханического гироскопа с двухмассовым чувствительным элементом. // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2012, май. Т. 55. №5. С. 40–46.

[10] Мартыненко Ю.Г., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Управление нелинейными колебаниями вибрационного кольцевого микрогироскопа // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 77-89.

[11] Меркурьев И.В., Подалков В.В.Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов. – М.: Физматлит, 2009. – 228 с.

[12] Пешехонов В.Г., Некрасов Я.А., Pfluger P., Kergueris C., Haddara H., Elsayed A. Результаты испытаний микромеханического гироскопа R-R типа. // XVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. Сборник материалов СПб, 2010. С. 8.

[13] Тимошенков С.П., Зотов С.А., Морозова Е.С., Балычев В.Н., Прокопьев Е.П.Передаточные функции чувствительного элемента микромеханического вибрационного гироскопа LL-типа // Нано– и микросистемная техника. 2007. №9 (86). С. 32–34.

[14] Ayazi F. Multi-DOF Inertial MEMS: From gaming to dead reckoning, in Proc. 16th International Conference on Solid-State Sensors, Actuators and Microsystems (Transducers’11), Beijing, China, pp. 2805-2808, 2011.

[15] Bebek O., Suster M., Rajgopal S., Fu M. Personal navigation via shoe mounted inertial measurement units // IEEE/RAS–EMBS International Conference on Intelligent, Robots and Systems. – Taipei, 2010. – P. 1052–1058.

[16] Feliz R., Zalama E. Pedestrian tracking using inertial sensors // Journal of Physical Agents. –2009. –Vol. 3, № 1. –P. 35–42.

[17] Jeong H. Three-Axis MEMS Inertial Sensor for Automobile Applications, IEEE SENSORS conference proceeding, 2011.

[18] Jihyun Cho. Nonlinear Instabilities in Ring-based Vibratory Angular Rate Sensors. PhD thesis,The University of Western Ontario, 2009.

[19] Junbo Wang, Li Chen, Ming Zhang, and Deyong Chen. A micro-machined vibrating ring gyroscope with highly symmetric structure for harsh environment. In Nano/Micro Engineered and Molecular Systems (NEMS), 2010 5th IEEE International Conference on. IEEE, 2010.

[20] Marek J., MEMS technology- from automotive to consumer, in proceedings of IEEE/ASME Conference on Microelectromechanicalsystems (MEMS '07), Kobe, Japan, Jan. 2007, pp. 59-60.

[21] Nujhat Abedin. Uncertainty quantification for a class of mems-based vibratory angular rate sensors. University of Western Ontario - Electronic Thesis and Dissertation Repository, 2014.

[22] Wagner J. From bohnenbergers machine to integrated navigation systems, 200 years of

inertial navigation. Photogrammetric Week, Wichmann Verlag, Heidelberg, 2005.

[23]Y. Tao, X. Wu, D. Xiao, Y. Wu, H. Cui, X. Xi, and B. Zhu. Design, analysis and experiment of a novel ring vibratory gyroscope, Sensors and Actuators A: Physical, vol. 168, pp. 286–299, 2011.