Виды выходных функций

· Детерминированная функция (DT) – все дуги, выходящие из узла, выполняются, если узел активирован.

· Стохастическая функция (ST) – только одна дуга, выходящая из узла, выполняется с заданной вероятностью, если узел активирован.

Графическое изображение описанных узлов приведено на рисунке 5.22.

Рис. 5.22 Графическое изображение входных и
выходных узлов ГЕРТ-сети

Комбинация всех входных и выходных функций дает шесть различных типов узлов, показанных на рисунке 5.23.

Рис. 5.23 Возможные комбинации входных и выходных функций

5.4.2 Производящие функции ГЕРТ-сетей

Как отмечалось выше, каждая дуга ГЕРТ-сети характеризуется вероятностью выполнения данной дуги , а также распределением вероятностей значения параметра, передаваемого по сети. Пусть случайная величина, характеризующая процесс на дуге (например, время выполнения операции) с условной плотностью распределения . Таким образом, полная характеристика дуги представляет собой вектор . Наряду с распределениями мы будем рассматривать порождаемые ими функции , которые носят название производящих функций и вычисляется следующим образом.

Для случайной величины с непрерывным распределением

, (5.24)

где - вещественный параметр, а интеграл берется по всей области определения случайной величины .

Для случайной величины с дискретным распределением

, (5.25)

где суммирование производится по всем значениям .

Предполагается, что интеграл в (5.24) и сумма в (5.25) конечны.

Использование производящих функций позволяет оценивать вероятностные характеристики сложных систем, описываемых ГЕРТ‑сетями, более просто, чем при работе непосредственно с распределениями случайных величин. При этом важным свойством производящей функции случайной величины является возможность вычислять начальные моменты распределения . Напомним, что k-м начальным моментом случайной величины с непрерывной функцией плотности распределения называется интеграл

, k = 0, 1, … . (5.26)

В частности, , ‑ математическое ожидание случайной величины ; второй момент позволяет определить дисперсию случайной величины: .

Справедливо утверждение [32]: начальные моменты распределения случайной величины , заданного функцией , равны значениям -й производной от функции в точке :

, . (5.27)

В частности, первый момент, т.е. математическое ожидание случайной величины определяется выражением

, (5.28)

а второй момент

. (5.29)

В таблице 5.3 приведены выражения для некоторых функций распределения, их производящих функций, и первых двух моментов

Использование производящих функций позволяет представить характеристику дуги в виде вектора , а произведение этих компонентов

(5.30)

называется передаточной функцией дуги или ее W-функцией.

Смысл передаточной функции заключается в следующем. Если во входном узле n_i некоторой дуги a_ij действует сигналy, то в выходной узел этой дуги n_j поступит сигнал x=W_ij(s)y.

Понятие передаточной функции используется во многих научных дисциплинах, связанных с изучением динамических процессов – в электротехнике, радиотехнике, теории управления и других. Особенность W‑функций, применяемых в ГЕРТ-сетях состоит в том, что W(s) - функция является вещественной функцией вещественного аргумента, в отличие от других определений передаточных функций, которые рассматриваются как комплексные функции комплексного аргумента. Кроме того, преобразование сигнала происходит не в узлах, а на дугах.

Таблица 5.3

Характеристики некоторых распределений

Тип распределения	Производящая функция	Мат. ожида-ние	Второй момент	Пара-метры распре-деления
Дискретное
Биномиальное
Экспоненциальное
Нормальное
Бета-распределение (равномерное) на отрезке
Бета-распределение на отрезке ,

5.4.3 Вычисление W-функций для типовых соединений дуг

Использование W-функций позволяет вычислять вероятностные характеристики системы, содержащей множество дуг. Для этого необходимо уметь вычислять W-функции для трех типовых соединений:

· последовательное соединение дуг;

· параллельное соединение дуг;

· встречно-параллельное соединение двух дуг, или соединение обратной связью (иногда говорят – петля).

Рассмотрим эти случаи.