Встречно-параллельное соединение

На рисунке 5.26 представлен фрагмент ГЕРТ-сети, содержащей петлю, когда сигнал с выхода узла подается на вход предшествовавшего узла .

Рис. 5.26 Встречно-параллельное соединение дуг ГЕРТ-сети

Пусть на вход узла приходит сигнал y , он складывается с сигналом обратной связи v, и сумма этих сигналов u проходит через дугу , в результате чего на выходе узла образуется выходной сигнал x. Но этот сигнал по дуге с передаточной функцией возвращается на вход узла , превращаясь в v.

Учитывая свойство передаточных функций, получаем следующие соотношения между сигналами:

, , ,

откуда, исключая переменные u и v, получаем

,

то есть передаточная функция встречно-параллельного соединения равна

. (5.34)

5.4.4 Модель процесса обучения как ГЕРТ-сеть

Проиллюстрируем возможности ГЕРТ-сетей на примере модели процесса интерактивного прохождения учебного курса.

Процесс заключается в следующем. Учащийся входит в обучающую систему и регистрируется в ней, после чего приступает к изучению разделов учебного курса. Изучив очередной раздел и выполнив контрольные задания, обучаемый переходит к изучению следующего раздела. Изучив все разделы, обучаемый получает возможность сдать экзамен. Если экзамен сдан с положительной оценкой, то процесс изучения курса считается успешно завершенным. В противном случае имеются две альтернативы: повторное изучение курса или отказ от дальнейшего обучения.

Рис. 5.27 ГЕРТ-сеть, моделирующая процесс обучения

Модель процесса в виде ГЕРТ-сети представлена на рисунке 5.27. Как видно из рисунка, эта сеть содержит множество узлов и множество A, содержащее 7 дуг, на которых выполняются следующие операции:

a₁₂ ‑ вход и регистрация в обучающей системе;

a₂₃ – изучение очередного раздела;

a₃₂ – переход к изучению следующего раздела;

a₃₄ – сдача экзамена;

a₄₂ – переход к повторному изучению курса;

a₄₅ – отказ от дальнейшего изучения;

a₄₆ – успешное завершение курса.

Характеристики процессов, выполняемых на дугах (в часах), приводятся в таблице 5.4.

Таблица 5.4

Характеристики ГЕРТ-сети

Название дуги	Вероятность выполнения	Тип распределения	Параметры распределения	Производящая функция
		Равномерное
		Нормальное
	0,2	Нормальное
	0,8	Нормальное
	0,1	Нормальное
	0,05	Постоянная величина
	0,85	Постоянная величина

Выпишем выражения для передаточных функций :

(5.35)

Составим передаточные функции для рассматриваемой системы. Предварительно рассмотрим фрагмент сети, состоящий из узлов , и дуг _, . Этот фрагмент образует соединение обратной связью, и в соответствии с формулой (5.34) его передаточная функция будет равна

. (5.36)

В результате схема ГЕРТ сети упростится и примет вид, показанный на рисунке 5.28.

Рис.5.28 Преобразованная ГЕРТ-сеть.

Воспользуемся формулами (5.32) и (5.34) и получим передаточную функцию ГЕРТ-сети от узла до узла _, что по условиям задачи соответствует успешному завершению курса:

(5.37)

Подставив в формулу (5.37) выражения для передаточных функций всех дуг и проделав некоторые преобразования, получим

. (5.38)

Для того, чтобы определить производящую функцию рассмотренной системы, воспользуемся формулой

,

которая следует из соотношений , , т.к. .

Из (5.38) следует , следовательно, производящая функция системы имеет вид

. (5.39)

Перейдем теперь к вычислению моментов распределений сигнала на выходе системы – поступившего по дуге . В соответствии с формулой (5.28), вычислив производную при , получим оценку первого момента – математического ожидания

час.

Далее, вычислив вторую производную при по формуле (4.28), получим второй момент распределения функции :

час²,

откуда

час²,

час. (5.40)

Таким образом, мы получили, что в данной системе среднее ожидаемое время успешного прохождения курса обучения составляет 12,08 часа, а среднеквадратичное отклонение от среднего равно 6,37 часа. Вероятность такого исхода равна 0,85/(0,85+0,05)=0,945.

Рассмотрим теперь цепочку узлов от до , что соответствует неудачному завершению процесса обучения. Эта цепочка отличается от рассмотренной ранее только последним звеном ‑ вместо . Проделав выкладки, аналогичные приведенным выше, получим

откуда

(5.41)

Вычислив первый и второй моменты случайной величины y₅, получим

час,

час²,

час², час.

Итак, среднее время обучения при неудачном завершении курса составляет 11,08 часа, а среднеквадратичное отклонение от среднего равно 6,36 часа. Вероятность такого исхода равна 0,05/(0,85+0,05)=0,055.

Формулы для первой и второй производных функций здесь не приводятся ввиду их громоздкости. Сложность аналитического вычисле-ния производных для систем реальной размерности требует либо примене-ния методов численного дифференцирования, либо использования систем символьных вычислений, которые в настоящее время получили доста-точное развитие и реализованы в пакетах MATHCAT и MATLAB [36].

При численном дифференцировании задаются значениями параметра sв окрестности точки s=0 и малым шагом h. Например, вычислив значения функции в точках , можно затем по формулам численного дифференцирования оценить значения производных:

Аналогичным образом можно оценить и моменты функции распределения более высоких порядков.

Следует учесть, что для некоторых видов распределений (например, для бета-распределений и ) при вычислении и возникают неопределенности типа , а попытка определить эти функции численно по формулам вида (5.42) приводит к ошибке типа «деление на ноль». Поэтому такие неопределенности нужно либо устранять аналитически (например, по правилу Лопиталя), либо – причисленном определении производных – строить вычисление в окрестности нулевой точки таким образом, чтобы окрестность не включала саму эту точку.

Располагая вычисленными моментами функции распределения выходной величины, можно затем оценить саму функцию распределения, задавшись ее видом [37]. Однако мы этот вопрос не рассматриваем.