Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов
В этом разделе будут изложены теоремы, необходимые для вывода правил вычисления пределов. Сначала приведём некоторые определения. Определение 3.1.Величина называется бесконечно малой (при , если . Определение 3.2.Величина называется бесконечно большой (при , если . Определение 3.3.Величина называется ограниченной на интервале , если такая константа , что для всех Определение 3.4.Величина называется ограниченной сверху (снизу) на интервале , если такая константа , что ( для всех Определение 3.5.Величина называется ограниченной, ограниченной сверху, ограниченной снизу при , если существует интервал , -12- содержащий точку , на котором величина является таковой. Очевидно, что функции и являются ограниченными на всей числовой оси, так как . Функции ограниченны на любом интервале при и таком, что при Очевидно, что величина является ограниченной тогда и только тогда, когда она ограниченна и сверху, и снизу. Очевидно, что бесконечно малая величина является ограниченной. Примеры бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных величин будут приведены ниже. Теорема 3.1.Сумма, разность, произведение бесконечно малых величин являются бесконечно малыми. Теорема 3.2.Произведение бесконечно малой величины на ограниченную является бесконечно малой. Теорема 3.3.Если - бесконечно малая, то - бесконечно большая. Теорема 3.4.Если - бесконечно большая, то - бесконечно малая. Теорема 3.5.Если и , то – ограниченная величина. Теорема 3.6. тогда и только тогда, когда представима в виде , где . , т.е. - бесконечно малая. Пример 3.1.При величина является бесконечно малой, а величина бесконечно большая. Пример 3.2.Поскольку величина является ограниченной на всей числовой оси, то при величина является бесконечно малой. Пример 3.3.При величина является бесконечно большой, а величины , бесконечно малыми. Из приведённых выше теорем вытекает следующая теорема о правилах -13- вычисления пределов. Теорема 3.7.Пусть , тогда: если b , то . Замечание 3.1.Поскольку где - константа, то из пункта 2) теоремы 3.7 вытекает, что Приведём ещё несколько теорем о пределах для полноты изложения. Теорема 3.7 ( о сжатой переменной).Если и , то Теорема 3.8.Если ( ) и , то Теорема 3.9.Если и то Определение 3.6.Функция называется монотонно возрастающей на интервале , если из того, что , следует, что Теорема 3.10.Если функция является монотонно возрастающей и ограниченной сверху, т.е. (снизу, т.е. ) на интервале , то существует конечный предел ( Замечание 3.2.В теореме 3.10 границы интервала и могут быть равными также и соответственно. Непрерывные функции. Определение 4.1.Функция называется непрерывной в точке , если Определение 4.2.Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если Определение 4.3.Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. -14- Определение 4.4.Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке Определение 4.5.Если функция не является непрерывной в точк , то она называется разрывной в этой точке. Пример 4.1.Функция непрерывна всюду, кроме точки в точке она является непрерывной слева. Теорема 4.1.Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения. Теорема 4.2.Пусть и непрерывны. Тогда , непрерывны; непрерывна, если Теорема 4.3.Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём , то функция непрерывна в точке Т.е. сложная функция непрерывных функций является непрерывной функцией. Геометрически непрерывность функции означает, что её график является сплошной, неразрывной линией.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (463)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |