Сравнение бесконечно малых. Принцип эквивалентности
Определение 6.1.Бесконечно малые и называются бесконечно малыми одного порядка, если Определение 6.2.Бесконечно малые и называются эквивалентными ( , если Определение 6.3.Бесконечно малая называется бесконечно малой высшего порядка (по сравнению с бесконечно малой , если -17- Теорема 6.1.Если и - эквивалентные бесконечно малые, то - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них. Теорема 6.2.Если - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с , то . Теорема 6.3 (принцип эквивалентности).Если и - эквивалентные бесконечно малые, то . Т.е., если под знаком предела бесконечно малая входит как сомножитель, то ее можно заменить на эквивалентную. Замечание 6.1.Особо заметим, что этого нельзя делать в разностях и суммах. Из первого, третьего, четвёртого и пятого замечательных пределов и их следствий вытекает следующая таблица эквивалентности для бесконечно малых: (6.1) tg (6.2) rcsin (6.3) rctg (6.4) (6.5) (6.6) (6.7) (6.8) (6.9) (6.10) -18- Докажем (6.10). Для этого посчитаем предел . Этот предел представляет из себя неопределённость вида Для того, чтобы его посчитать, нужно воспользоваться формулой и тем, что . Тогда получим: , откуда следует (6.10). Вычисление пределов. В этом разделе рассмотрим ряд типовых задач на вычисление пределов. Пример 7.1. . Предел 7.1 представляет из себя неопределённость вида ( всюду ниже, чтобы указать вид неопределённости, мы будем просто приравнивать предел к соответствующему обозначению неопределённости). Для вычисления подобных пределов нужно числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень, а затем воспользоваться теоремами 3.7, 3.3 и 3.4. Имеем: . Пример 7.2. Пример 7.3. Здесь используется, что величина, обратная бесконечно малой является бесконечно большой (теорема 3.3). Заметим, что пределы 7.2 и 7.3 можно было бы посчитать и несколько иначе: -19-
Проанализировав решения примеров7.1 – 7.3, нетрудно понять, что справедлива следующая Теорема 7.1.Пусть и – многочлены степеней соответственно, т.е. , , , Пусть Тогда: 1) если ; 2) если 3) если Рассмотрим теперь пределы отношений многочленов при , стремящемся к конечному числу. Пример 7.4. . В силу теорем 4.1 и 4.2 рассматриваемая функция является непрерывной. Это означает, что . Пример 7.5. . Положив , получим, что Пример 7.6. . Положив , получим, что Пример 7.7. . Положив , получим, что , т.е., в отличие от пределов 7.4 – 7.6, предел 7.7 является неопределённостью вида То, что при числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, означает. Что каждый из них разлагается на множители, один из которых равен Найдя корни -20- числителя и знаменателя, разложив последние на множители, получим: . Пример 7.8. . Положив , получим, что Разложим числитель по формуле разности кубов. Для разложения на множители знаменателя разделим его на . Тогда получим: . Пример 7.9. . Положив , получим: Для раскрытия этой неопределённости нужно умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю, т.е. на , и разложить знаменатель на множители: . Пример 7.10. Для раскрытия неопределённости умножим числитель и знаменатель дроби на и разложим знаменатель на множители. Тогда получим: . -21- Пример 7.11. Разложив знаменатель на множители и умножив числитель и знаменатель на , в силу формулы разности кубов получим: . Пример 7.12. . Для раскрытия неопределённости умножим и разделим на сопряженное выражение . Тогда получим: . Разделив числитель и знаменатель на получим: Пример 7.13. . Заметим, что этот предел не имеет ничего общего с первым замечательным пределом (5.1). Поскольку , а – бесконечно малая при , то Перейдём теперь к пределам, при вычислении которых используются замечательные пределы или, что то же самое, таблица эквивалентности. Пример 7.14. -22- Сначала особо заметим, что если в разности, стоящей в числителе предела
7.14, и заменить на эквивалентную бесконечно малую величину , то получится неверный ответ Для получения правильного ответа нужно положить , затем вынести за скобки, тогда в силу (6.1) и (6.10) получим: . Пример 7.15. . Поделив числитель и знаменатель дроби на , в силу (6.3) и (6.4) получим: . Заметим, что если в пределе 7.15 и заменить на эквивалентные бесконечно малые , то получится правильный ответ. Но такое решение будет неверным, так как нет теоремы, на которую можно сослаться. Пример 7.16. . Для раскрытия неопределённости нужно разность в числителе преобразовать в произведение. Кроме того, поскольку в замечательных пределах (кроме второго в одном из видов) стремится к нулю, то удобно ввести новую переменную Тогда Тогда , откуда получим: . -23- Пример 7.17. Поскольку , то предел 7.17 является неопределённостью вида Воспользовавшись логарифмическим тождеством , представим основание в виде .Тогда . Воспользовавшись непрерывностью экспоненты (см. определение 4.1 и теорему 4.1) и тем, что если , то и, следовательно, (см. (6.5)), получим: . С помощью выкладок, используемых при вычислении предела 7.17, может быть доказана Теорема 7.2.Пусть Тогда Действительно, так как то и при . Тогда Все неопределённости вида раскрываются по теореме 7.2. Пример 7.18. . Так как , tg то Тогда . -24-
Поскольку и , tg3 , то . Следовательно, . Пример 7.20. . . Поскольку (см. (6.7), (6.2), (6.10)), то . Пример 7.21. . Поскольку при (см. (6.5) и (6.4)), то = 2. Пример 7.22. . Поскольку , , то
Заметим, что писать сначала , а затем некорректно, так как не сформулированы соответствующие теоремы, на которые можно было бы сослаться. По той же причине недопустимо писать сначала , а затем -25-
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (437)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |