Лекция 7 -8. Элементы векторной алгебры
Величины, например, сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора. Вектор - это направленный отрезок. Если А - начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается (- ). Длиной вектора называется длина отрезка и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором. Для нулевого вектора направление не определено. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора . Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства, то есть векторы определены с точностью до параллельного переноса. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Линейные операции над векторами Под линейными операциями над векторами обычно понимают операции сложения и умножение вектора на число. Геометрическая интерпретация. Пусть и два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим из нее вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Аналогично происходит сложение нескольких векторов Под разностью векторов и понимается вектор . На практике вектора и откладывают из одной точки, концы соединяют. Вектор имеет направление «к концу вектора ». Отметим, что в параллелограмме (рис.), построенном на векторах и одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая - разностью. Произведением вектора на скаляр (число) λ называется вектор , который имеет длину вектора , умноженную на λ, а направление - совпадающее с направлением вектора , если λ>0, и противоположное направлению вектора , если λ<0. Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) , которые вполне аналогичны свойствам элементов линейного пространства. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Оz единичные векторы (орты), обозначаемые , соответственно. Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: . Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим, соответственно, через М1, М2, М3. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда прх = , пру = , прz = . По определению суммы нескольких векторов находим . Так как , , то = + + . Обозначим проекции вектора на оси соответственно через а1, а2, а3, тогда . (9) Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а1, а2, а3 называются координатами вектора , то есть координаты вектора есть его проекции на координатные оси. Векторное равенство (9) часто записывают в координатном виде: . Пусть углы вектора с осями Ох, Оу, Оz соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось имеем: , , . Или, что тоже самое: , , . (10) Числа , , называются направляющими косинусами вектора . Координаты вектора.Найдем координаты вектора , если известны координаты точек А(х1, у1, z1) и В(х2, у2, z2). Имеем: . Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала. Длина вектора Если известны координаты точек А(х1, у1, z1) и В(х2, у2, z2), то длина вектора находится по формуле: . Базис системы векторов Определение. Система векторов , , называется линейно зависимой, если существуют такие константы , , , не все не равные нулю, что имеет место равенство: . Если из этого равенства с необходимостью следует, что , то система называется линейно независимой. Определение. Базисом в 3-х мерной системе координат называется любая упорядоченная система из трех линейно независимых векторов пространства. Теорема 1. Векторы , , образуют базис, если D¹0, где . Если векторы , , образуют базис, а вектор представляется в виде: , тогда числа , , называются координатами вектора в базисе , , , то есть . Определение. Совокупность всех 3-х мерных векторов с действительными координатами, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, образует 3-х мерное векторное пространство.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (576)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |